Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
уменьшаться до нуля* а при уменьшении радиуса этой зоны дб значения
радиуса цилиндра коэффициент сопротивления будет возрастать до
бесконечности. Действительное значение радиуса возмущений, очевидно,
можно установить только на основании каких-либо измерений или каких-либо
дополнительных соображений.
В предыдущем параграфе было построено решение задачи о движении круглого
цилиндра при предположении, что зона возмущений, вызываемых движением
цилиндра, является ограниченной. Если же предполагать, что возмущения от
движения цилиндра исчезают лишь на бесконечности, т. е. граничные условия
(3.4) заменить условиями:
то для удовлетворения их мы должны в выражениях (3.9) для проекций
скоростей положить:
Таким образом, при удовлетворении граничных условий (4.1) на
бесконечности из четырёх постоянных, входящих в выражение (3.9) для
функции тока, будут использованы три. Для удовлетворения двух граничных
условий на самом, цилиндре останется только одно постоянное D.
Следовательно, удовлетворение граничных условий прилипания частиц к
поверхности цилиндра уже не представляется возможным. В самом деле, при
использовании равенств (4.2) будем иметь из (3.9):
Удовлетворяя условиям (З'.З) в отдельности, будем иметь различные
значения для одного и того же постоянного D:
D=Ua\
D = - IJ а2.
§ 4. Парадокс Стокса
при Г -> оо
(4.1)
А - О, В~0
С = 0.
(4.2)
(4.3)
§ 4] ПАРАДОКС СТОКСА lt)5
Это и значит, что при решении приближённых уравнений Стокса для задачи о
движении круглого цилиндра в безграничной вязкой несжимаемой жидкости
удовлетворить одновременно и условиям обращения в нуль скоростей на
бесконечности и условиям прилипания частиц к поверхности не
представляется ввзможным. Это заключение о невозможности решения
бигармонического уравнения для задачи о движении круглого цилиндра в
безграничной жидкости известно под названием парадокса Стокса4). Для
эллиптического цилиндра этот парадокс был доказан Уилтоном 2), а для
цилиндра произвольного сечения Одквистом 8).
Пользуясь результатами исследований Н. И. Мусхелишвили 4) и С. Г. Михлина
6), можно доказать парадокс Стокса и для случая одновременного
поступательного движения нескольких замкнутых контуров с равными
скоростями в безграничной жидкости. Рассмотрим вначале тот случай, когда
жидкость простирается до бесконечности и с внутренней стороны .Ограничена
одним лишь замкнутым контуром. Давление р должно быть функцией
однозначной, а согласно его выражению (2.8) это может быть только тогда,
когда мнимая часть функции Ф' (а) будет однозначной гармонической
функцией. Пусть действительная часть этой функции будет многозначной, т.
е. при однократном обходе против часовой стрелки какого-либо замкнутого
контура она будет получать приращение В, где В - действительное число.
Рассмотрим теперь функцию
Ф'* (а) = Ф' (а) + -g- in (a - *"), (4.4)
где z0 представляет точку вне области, т. е. точку внутри
рассматриваемого контура. Так как функция 1п(г - г0) при обходе вокруг
контура, содержащего точку г0, получает приращение 2п1, то общее
приращение всей правой части при указанном обходе будет равно нулю, т. е.
функция Ф'* (г) будет функцией однозначной. Таким образом, можно
положить:
Ф' (г) = Ф'*(а) - |L In (z - z0), (4.5)
где <t>'* (г) будет функцией, однозначной и голоморфной во всей области,
занятой жидкостью. Выполняя интегрирование, получим:
Ф (г) = Ф^ (г) + (а + ^) In (z-z0) - -^-z In (z - z0), (4.6)
где Ф^(л) представляет собой однозначную и голоморфную функцию.
Положим
X' (*) = s ("* + **,п (* - *о> + (!* (*) (4.7)
ft=o
4) Stokes G., Trans. Camb. Phil. Soc., т. IX, 1851,
2) Wilton, Philos. Magaslne, № 175, 1915.
8) О d q v f s t, Math. Zeitschr., т. 32.
4) См. сноску на стр. 158.
s) Михлин С. Г., Плоская задача теории упругости, Труды Сейс."
нв-та, № 65, изд. АН СССР, 1935,
166 ДВИЖЕНИЕ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА. МЕТОД СТОКСА [ГЛ. V
и потребуем, чтобы скорость, представляемая равенством (2.6), была
однозначной. Для этого необходимо подсчитать приращение правой части
(2.6) с учётом равенств (4.6) и (4.7) при обходе замкнутого контура и
приравнять это приращение нулю:
к=п
- I Г(. + /р) 2Ш - -Ц- г (2*/) + Вг + (с? - /р') Р (- 2тг/)1 = 0.
л=о
Так как это равенство должно выполняться при любом значении независимого
переменного г, то должны обращаться в нуль отдельно как свободные члены,
так и коэффициенты при степенях гиг. Таким образом, будем иметь:
2В = 0, 1
" + $ -("о -$о)='0* | (4.8)
"*:-% = 0 (й=1, 2,- ..., п). )
Следовательно, функции Ф(г) и х'(г) ПРИ использовании равенств (4.6),
(4.7) и (4.8) будут представляться в виде
Ф (г) = Ф* (г) -)- (а -)- Щ 1п (г Х/(*) = Х/,(*) + (*--*Р)1п(*
- *о). ) -*о), I
(4.9)
где Ф* и х*-функции, однозначные и голоморфные внутри рассматриваемой
области. При представлении функций равенствами (4.9) как давление, так и
скорость во всей области будут однозначными функциями.
Если же область, простирающаяся до бесконечности, будет ограничена с
