Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
+4(-ft+2,,3g-R,%')=0-
dx
_d
dx-
(2.11)
196
ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СМАЗКИ
(гл. VI
Полученные дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости в тонком
слое содержат два безразмерных параметра е и R. Параметр е,
представляющий собой отношение толщины слоя к среднему радиусу кривизны
поверхностей, считается заведомо малой величиной, a R может и не быть
малой.
Теперь примем, что число Рейнольдса по своему порядку обратно
пропорционально значению параметра г в первой степени, т. е.
R"-i. (2-12)
При этом предположении сохраним в соотношениях (2.10) и в уравнениях
(2.11) лишь слагаемые, имеющие наибольший порядок величины. Тогда
соотношения, выражающие гипотезу Ньютона, представятся в виде
PsCCD ? Pi*
Л2 dttl
Рссу =
Руу =
pUi
-Pi'
I ;2 dWt
Руг = № Ijf'
Pzz '
Pzx '
РЩ --Г Pi.
*"!(?+&)¦
(2.13)
На основании полученных равенств (2.13) заключаем, что в тонком смазочном
слое наибольшим по своему порядку напряжением будет напряжение давления.
Из касательных напряжений наибольшими по своему порядку будут те
компоненты напряжений, которые развиваются на площадках, перпендикулярных
к оси у, т. е. на площадках, приблизительно параллельных ограничивающим
поверхностям.
Дифференциальные уравнения (2.11) при использовании (2.12) и сохранении
слагаемых, не содержащих в качестве множителя параметр s, принимают
следующий вид:
dpi , дъих
-Щ+ъ\
d?i. dyi'
¦0,
0,
_dpijr<Vwi_ о
dz
dyi
(2.14)
На основании второго уравнения (2.14) мы заключаем, что в тонком
смазочном слое давление не изменяется по толщине слоя.
Возвращаясь в соотношениях (2.13) и уравнениях (2.14) к размерным
величинам и присоединяя к ним уравнение несжимаемости,
3] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ДАВЛЕНИЯ В СЛОЕ
197
получим:
Рхх ~ Руу ~ Ргг ~ Р< )
ди dw (да , dw\ г (2.15)
Рху - Рду< Руг-Рду< Рг<в~Р\дг~^~дх)'' ]
др д2и
7х ^ ду* '
^ = 0.
др _ М. <2Лб>
дг ^ (ТР '
ди , dv_ , dw__p.
дх ' ду ' дг
Полученные дифференциальные уравнения (2.16) носят название диф-
ференциальных уравнений Рейнольдса для смазочного слоя. Сопоставляя эти
уравнения с полными дифференциальными уравнениями установившегося
движения несжимаемой вязкой жидкости, мы видим, что для перехода от
полных уравнений к уравнениям (2.16) должны быть отбро!иены не только все
квадратичные члены инерции, но и часть слагаемых, обусловленных
вязкостью. Таким образом, щффе-ренциальные уравнения Рейнольдса
совершенно не учитываю'1' квадратичных членов инерции и лишь частично
учитывают слагаемые от вязкости.
Дифференциальные уравнения (2.11) при подстановке (2.12) будут содержать
только один малый параметр е. Решения этой системы дифференциальных
уравнений можно представить в виде рядов по степеням этого параметра.
Тогда эта система уравнений вместе с уравнением несжимаемости разобьётся
на последовательность отдельных систем уравнений. Первой системой этой
последовательности будут уравнения Рейнольдса (2.14), второй же системой
будут те уравнения, которые были использованы Л. С. Лей-бензоном 1) для
вычисления первой поправки на учёт квадратичных членов инерции.
§ 3. Дифференциальное уравнение для давления в слое
Дифференциальные уравнения (2.16) разрешаются весьма просто относительно
скоростей. Так как давление не зависит от у, то в первом и третьем
уравнениях можно провести интегрирование по переменному у. Интегрирование
по переменному у можно провести й в уравнении несжимаемости. В результате
э"их интегрирований
*) Лейбензон Л. С., Второе приближение в теории О. Рейнольдса, Сборник
"Гидродинамическая теория смазки", ГТТИ, 1934, стр. 557; 0.л ё з к и н Н.
А.. К вопросу об уточнении решений уравнений Рейнольдса, ДАН СССР, т.
LIV, № 2, 1946.
198
ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СМАЗКИ
[ГЛ. VI
мы получим следующие равенства для скоростей:
/(?+?)->+*•
(3.1)
Входящие в эти равенства Cv Са, С3, С4 и Сб в общем случае могут
считаться функциями переменных х и z.
Установим граничные условия для скоростей. По нашему предположению точки
первой поверхности имеют скорость Ut только в направлении оси х, т. е.
граничные условия на первой поверхности будут представляться в виде
при у = 0 и - Uv d = 0,
w.=- 0.
(3.2)
Точки второй поверхности имеют скорости U2 по касательной и
V2 по нормали. Проектируя эти скорости на оси х и ^и обозначая
Переменную толщину слоя через h, получим:
при у = h(x, z) uj= U2 cos (т, л:) - V2 sin (т, *),
v= U2 sin (t, x) -)- V2 cos (т, л:), w == 0.
Тангенс угла наклона касательной т ко второй поверхности к оси х будет
представляться в виде
, , ¦'•'¦'г. dh Ъ(ч.х) = ъJ.
В силу предположения о сравнительно малом искривлении второй поверхности
можно положить:
sin (С*) "tg (т, х) = ^~, cos (т, л:) "г 1.,
При таком предположении граничные условия на второй поверхности будут
представляться' в виде
при у - k(x, z)
(r)=°-
дх
В предшествующем параграфе указывалось, что величина скорости V2 должна
быть малой величиной. Следовательно, произведение V2-^ будет малой
