Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Слёзкин Н.А. -> "Динамика вязкой несжимаемой жидкости" -> 63

Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.

Слёзкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости — М.: Технико-теоретической литературы, 1955. — 520 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamikavyazkoynesjimaemoyjidkosti1955.pdf
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 170 >> Следующая

же мы рассмотрим это движение без учёта
квадратичных членов инерции, т. е. на основе бигармонического уравнения.
Пусть мы имеем плоский диффузор (рис. 45). Движение жидкости в диффузоре
будем предполагать установившимся и строго радиальным, т, е.
Рис. 45.
Vf ~ дг
: 0.
(6.1)
Обозначим половину угла раствора диффузора через ,ср0. При указанных выше
предположения^ рассматриваемая задача сводится
61 ДВИЖЕНИЕ жидкости В ПЛОСКОМ ДИФФУЗОРЕ
с решению бигармонического уравнения
17S
дд^ = о
фи следующих граничных условиях:
(6.2)
при <р = 0 ф -
при <р = ср0 ф = i- Q,
(6.3)
где Q представляет собой величину расхода жидкости через каждое течение
диффузора.
На основании предположения (6.1) функция тока у не будет за-шсеть рт
радиуса, поэтому
Таким образом, в рассматриваемом случае бигармоническое уравнение (6.2)
сводится к следующему обыкновенному дифференциальному уравнению:
Общее решение дифференциального уравнения (6.4) будет представляться в
виде
^ = А B<f -f- С cos 2<р + D sin 2<р.
Обращаясь к граничным условиям (6.3), получим для определения постоянных
уравнения
(6.4)
л + с=О,
В - 2Сsin 2<р0 + 2D cos 2<р0 = О,
S + 2Csin 2<p0 + 2D cos 2ср0 = О,
.4 + .8<p0 + Ccos 2<p0 + Dsin2<p0 = y Q.
отсюда
С - О,
176 ДВИЖЕНИЕ ПВИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА! МЕТОД СТОКСА [ГЛ. V
Таким образом, функция тока и радиальная скорость будут пред-ставляться в
виде
, J_ ^ sin 2<f - 2<f cos 2<f0
У 2 ^ sin 2<p0 - 2<j>0 cos 2<j>0 '
(6.5)
Q cos 2<f - cos 2<f0
vr~ r sin 2<p0 - 2<p0 cos 2<p0 '
Так как
Щ = -7Г sin 2<f = Im [4r] v
то на основании соотношения (2.9) получим для давления:
p = Po+*V>D2&. (6.6)
Сопоставляя полученные формулы (6.5) и (6.6) с формулами (10.3) и (10.7)
главы IV, мы заключаем, что как при сохранении квадратичных членов
инерции, так и при их отбрасывании зависимости радиальной скорости и
давления при движении жидкости в плоском диффузоре от расстояния г от
вершины диффузора остаются одними и теми же, меняются лишь зависимости
этих величин от полярного угла ср. Переход от чисто расходящегося течения
к чисто сходящемуся в формулах (6.5) и (6.6) можно осуществить только
изменением знака величины расхода Q. Таким образом, при приближённом
решении задачи о плоско-параллельном радиальном течении вязкой жидкости
принципиальные различия между расходящимся и сходящимся течениями,
которые были обнаружены при точном рассмотрении этой задачи в § 10 главы
IV, обнаружить уже не удаётся.
Считая угол <р0 малым и проводя разложение cos 2ср, cos2 <р0 с точностью
до членов третьей степени включительно, получим для скорости и перепада
давления следующие приближённые формулы:
зо ^-<р2
vr =
4г Ч>о
др_________3|aQ 1 - 2<ра
дг ~ 2г3
Полагая в этих формулах
h = rip 0, у - гр,
получим:
- 3<?
(6.7)
Первап из формул (6,8) представляет собой скорость ламинарного движения
жидкости между двумя параллельными неподвижными
ДВИЖЕНИЕ ШАРА В НЕОГРАНИЧЕННОЙ ЖИДКОСТИ
177
;тенками. Таким образом, при малых углах раствора плоского диффузора и
при условии, что можно пренебрегать квадратичными членами инерции,
распределение радиальных скоростей по круговому гечению будет весьма
близко к параболическому. Формула же (6.8) !Гля перепада давления
указывает на то, что при почти параболическом распределении радиальной
скорости по круговому сечению а плоском диффузоре давление всё же будет
изменяться не только от сечения к сечению, как это имеет место при
движении между параллельными стенками, но и вдоль самого сечения.
§ 7. Движение шара в неограниченной жидкости
Рассмотрим задачу о прямолинейном поступательном движении шара в
неограниченной вязкой жидкости с постоянной скоростью U, параллельной оси
х (рис. 46). Предполагая: 1) жидкость несжимаемой, 2) движение жидкости
установившимся и осесимметричным, т. е.
dV
р = const, -gj- = 0,
dvo dv.
V(r)=0, -r^ = 0,
o<f dy
И 3) пренебрегая действием массовых сил.и квадратичными членами инерции,
получим из (12.5) главы IV дифференциальное уравнение для функции тока
D Dty = 0, (7.1)
где D - оператор Стокса, представляемый в сферических координатах в виде
дф ^ /?2 <Э6 V Sin 0 дв)'
При этих предположениях давление будет определяться на основании (12.4)
главы IV из уравнений
др (л д Dfy
dR Z?2 sin 0 d0
др (л д Dty
d0 sin 0 dR
(7.3)
а проекции вектора скорости будут представляться следующими равенствами:
1
¦Уй =
/?2 sin 0 d0 ' 1
V'i~ R sin 0 dR'
(7.4)
178 ДВИЖЕНИЕ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА. МЕТОД СТОКСА [ГЛ. V
При осесимметричном движении компоненты вихря на основании
(8.12) главы I будут представляться в виде
1 Г dvr? д 1 шв = 0, Ю9 = __|_ w(Rvd\, "8 = 0.
Из этих выражений следует, что вихревые линии будут представлять собой
окружности с центрами на оси симметрии. Величина вихря
(7.5) шара будем
j
| (7-6)
J
Кроме того, положим, что на бесконечности обе составляющие скорости
обратятся в нуль:
при R-+oo vr-+ 0, це->-0. (7.7)
Вид граничных условий (7.6) указывает на возможность искать решения
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 170 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed