Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
234 ДВИЖЕНИЕ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА МЕТОД ОЗЕЕНА [ГЛ. VII
Таким образом, сила вязкости в какой-либо точке на погружаемой в вязкую
среду пластинке пропорциональна скорости в степени 8/.2 и обратно
пропорциональна 'квадратному корню из расстояния этой точки от края
пластинки.
Обозначим ширину пластинки через Ь. Умножая обе части равенства (3.11) на
2bdx и интегрируя от нуля до к, где к - длина погружённой части
пластинки, получим следующую формулу для сопротивления трения врезанию
тонкой пластинки в вязкую среду
F =-----%=bU% V^k = - 2,257Ьи'Ущйг. (3.12)
у %
Следовательно, сопротивление прониканию тонкой пластинки в вязкую
несжимаемую среду зависит не только от скорости проникания U в степени
8/а, но и от глубины проникания к в степени V2.
Допустим, что проникание пластинки в вязкую среду происходит благодаря
тому, что этой пластинке с весом Р сообщена некоторая начальная скорость
U0. Составляя дифференциальное уравнение движения этой пластинки,
получим;
?-U- - - 4L U% Vwh-
g dh Y К Разделяя переменные и проводя интегрирование, будем иметь:
У'ЩЧь^ (3-13)
Обозначая предельную глубину проникания пластинки через Н, при которой
скорость U обращается в нуль, получим из (3.13) следующую формулу для
коэффициента вязкости среды;
9п ., 1 " ...
!'¦-77 о-~ ' ,277у" - (3.14)
16 р^2 Ь"Н'2
Полученной формулой можно пользоваться для экспериментального
определения коэффициента вязкости весьма вязких сред с помощью
ударного погружения в них тонкой пластинки.
§ 4. Задача об обтекании цилиндра
В § 3 главы V было показано, что задача об установившемся движении
круглого цилиндра в безграничной жидкости на основании уравнений Стокса
не может быть решена. Для уравнений же Озеена, в которых квадратичные
члены инерции учтены частично, решение этой задачи становится возможным.
Допустим, что в безграничном потоке вязкой несжимаемой жидкости помещён
неподвижный круглый цилиндр радиуса а (рис, 64).
§ 41
ЗАДАЧА ОБ ОБТЕКАНИИ ЦИЛИНДРА
235
Граничные условия прилипания жидкости к поверхности цилиндра и условия на
бесконечности будут представляться в виде
при г = a vr = 0, ve - 0;
при г = со vr = U cos 0, vd - - Л/ sin 0.
(4.1)
Так как вектор скорости частиц жидкости на основании равенств
(2.12) равен
= -у}+
+ grad(<p+^-y.) (4.2)
и единичный вектор I оси х будет составлять с направлением г угол О, то
при переходе к полярным координатам г и 0 получим:
(4.3)
_l Ё!? - I) дха ~' ду% '
Функция 9 будет удовлетворять уравнению Лапласа па плоскости
(4.4)
а функция у будет представляться в виде
х = - ?/-4-в*(r)К, (4.5)
где множитель У будет удовлетворять уравнению Гельмгольца
(4.6)
Проектируя подинтегральное выражение (2.18) на ось х, получим: ^•cos 0 +
^ sin 9
дх ' ду дх дг 1 ду дг дг
Следовательно, формула (2.18) для сопротивления цилиндра примет вид
А2К-П
дх?~т~ ду* к
Я,
;9ш [ д?ач.
(4.7)
Основное решение уравнения Лапласа (4.4), представляющее потенциал
скоростей источника -в начале координат, имеет вид
<f - In г. (4.8)
ZOO ДВИЖЕНИЕ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА. МЕТОД ОЗЕЕНА (ГЛ. VII
Дифференцируя это решение (4.8) по х и суммируя полученные таким способом
новые частные решения, получим для функции <р следующий ряд:
00
'¦p=2'4"JS&inr- <4-9)
П=а О
Так как
д In г X COS в
дх ~ Г9 г
да1пг 1 2x2
~ г2 г* ~
d9lnr дх* = - 2х 4х гi г*
дп In г дхп ¦1 Г1 (я
cos 26
га ~ га
8х9 6 cos 6 , 8 cos9 6_____g cos 36
г* г9 ' г9 г9
ч, cos лв -
("> О.
/ гп
то ряд (4.9) для функции <р можно представить в виде
<р = Л0 In г -f- ^(- 1)ге-1(л - 1)!^4ге (4.10)
П = 1
Подставляя значение <р из (4.10) в (4.7), получим;
со ^
Rx = 2up?A40 + ? (~ I)"'1 ^2. J cos "6 rf9.
0
Таким образом, сопротивление круглого цилиндра будет зависеть от одного
коэффициента, представляющего собой мощность источника (4.8), и будет
представляться в виде
Rx = 2up?A40. (4.11)
Для функции Y, зависящей только от полярного радиуса г, дифференциальное
уравнение (4.6) примет вид
Y"+1y' - /г9Г = 0. (4.12)
Общее решение уравнения (4.12) представляется через функции Бес-
селя нулевого порядка от мнимого аргумента в виде
Y=C1/0(kr)-hCSiK0(kr).
С возрастанием аргумента функция Бесселя I0(kr) неограниченно растет,
поэтому необходимо положить:
С, = 0.
I 4)
ЗАДАЧА OB ОБТЕкЛНИИ ЦИЛИНДРА
237
Таким образом, функция источника в начале координат на плоскости для
уравнения (4.6) будет представлять собой функцию Макдональда нулевого
порядка, т. е.
K0(kr). (4.13)
Дифференцируя эту функцию источника по х и с,".пируя результаты после
умножения на постоянные коэффициенты и множитель е**, получим следующий
ряд для функции у:
Х = -6/Н-^2вя^*о(ЛО.
(4.14)
71 = 0
Граничным условиям (4.1) прилипания будем удовлетворять приближённо. Для
этого в выражении (4.14) для у, считая, что первые два коэффициента имеют
порядки величин
Вп
1, Bt~k,
сохраним слагаемые, имеющие порядок величины k в первой степеци. Так как
для малых значений аргумента функция Макдональда нулевого порядка и её
