Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
'Руу - 2р
ди
~ду
2хг . ф '
= 4р
ди
дх
" _ / dv , ди \
Рху Н- j •
ледовательно, сила вязкости на поверхности цилиндра будет пред-гавляться
в виде
х ди ( 2х2 \(dv , ди \"
§ 7] КАЧЕНИЕ ЦИЛИНДРА ПО ПЛОСКОСТИ, ПОКРЫТОЙ ВЯЗКИМ ВЕЩЕСТВОМ 217
то, подставляя это выражение и значение и из (7.4) в (7.9) и пре-
" a3 eft
небрегая выражениями, содержащими множители , - и т, д.,
г\~ Н
получим для результирующей силы от касательных напряжений следующее
приближённое выражение:
6 ь
+ (7Л°)
- а
Для момента сил трения относительно оси цилиндра приближённо будем иметь:
L = - RFX. (7.11)
Полученные формулы (7.8), (7.10) и (7.11) содержат три заранее
неизвестных параметра: а, b и h0. Для их определения воспользуемся: а)
вторым условием (7.3) для давления, б) условием равновесия силы веса
цилиндра с результирующей силой от давления слоя и в)
предположением о том, что слой в его левой точке
наименее всего
деформирован и поэтому толщину слоя здесь можно приравнять начальной
толщине Н всего слоя на плоскости. Эти три условия могут быть
представлены следующими равенствами:
р{Ь) = 0, Py = q, )
V,_-_ (7.12)
Я=А0 + Я-У/?* -аа. J
Исходя из уравнения равновесия сил в проекциях на ось х, получим
неравенство для необходимой силы тяги
Q>-(PX + FX). (7.13)
Будем предполагать отношение ~ настолько малым, что в выра-
IX
жениях, входящих под знак интегралов, можно будет положить:
V' Гр ' .V' ¦ R / 1 -({)"".
При таком предположении давление из (7.7) будет представляться формулой
р==^-(2а3+3ад: - х5). (7.14)
Первое из условий (7.12) приводит-к уравнению
63- За26- 2а3 = 0, единственным положительным корнем которого будет;
А = 2а, (7,15)
218
ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СМАЗКИ
[ГЛ. VI
Подставляя значения р из (7.14) и b из (7.15) в (7.8) и (7.10), получим:
р 10 8lWa5 Р - 1Я 5 |Х<а/д4 )
1U>5 ' Иу lci>0 f-Ji I I
/ "< \ \ (7-16) Fx= 3^(1+3,6^772-). J
Входящая в выражения (7.16) неизвестная величина а должна определяться из
второго условия (7.12), т. е. из уравнения
"=13,5^. (7., 7)
Если в неравенстве (7.13) мы отбросим результирующую силу трения Fx и
подставим значение Рх из (7.16) и значение а из (7.17), то получим:
">°'4i70Ty' <7-|8)
В последнем неравенстве коэффициент при может рассматриваться
н
как коэффициент трения качения. Величина этого коэффициента, как это
видно из (7.18), убывает с уменьшением толщины слоя И и веса
а
единицы длины катка | и с увеличением jx и ш, причём зависимость
от последних трёх параметров значительно слабее, чем от толщины слоя Н. В
частности, при р. = со (абсолютно твёрдый слой) коэффициент трения
качения будет равен нулю.
Аналогично будет решаться задача и в том случае, когда цилиндр будет
совершать не чистое качение, а чистое скольжение по вязкому
слою. В этом случае надо лишь изменить вторые граничные усло-
вия (7.3) на верхней границе рассматриваемого слоя.
Рассмотренная задача характерна тем, что в ней используется
дополнительное граничное условие для давления и продольная протяжённость
слоя считается неизвестной.
§ 8. Элементарная гидродинамическая аналогия прокатки
При прокатке раскалённого металла происходят явления течения, которые в
некотором отношении будут аналогичны явлениям течения очень вязкой
жидкости. На эту аналогию впервые обратил внимание И. В. Мещерский *).
Приближённое решение соответственной гидродинамической задачи было дано в
монографии С. М. Тарга 2). Это
1) Мещерский И. В., Гидродинамическая аналогия прокатки, Известия Первого
петрогр. политехи, ин-та, т. XXVIII, 1919.
а) Т а р г С. М., Основные задачи теории ламинарных течений, Гостех-
издат, 1951.
§ 8]
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ АНАЛОГИЯ ПРОКАТКИ
219
решение строится с помощью приближённых уравнений Рейнольдса для слоя.
Пусть два цилиндрических валка равных радиусов R вращаются в разные
стороны с постоянной угловой скоростью со. Между поверхностями этих
валков располагается прокатываемая полоса, имеющая до прокатки толщину
2Н0, а после прокатки 2Нг (рис. 59). Переменная толщина 2A \s полосы
между валками будет пред- Hh ставляться уравнением
h = R + H1-VRi-
(8.1)
В силу наличия симметрии относительно оси х будем рассматривать только
верхнюю половину слоя. Обозначая через а длину слоя под валками и при-
Рис. 59.
нимая условие прилипания частиц металла к поверхностям валков, будем
иметь граничные условия в виде:
ди
при у = О
у -А лс = О
х .-= а
ду
при
при
при
¦A), v
сох,
(8.2)
и = - со (R -)- Нг -
Р= о,
Р = 0.
Решая первое уравнение (7.1) и удовлетворяя граничным условиям (8.2) для
и, получим:
А). (8.3)
2|х дх (У'" Л2)'
'{R + h1
Из уравнения неразрывности, учитывая граничные условия (8.2) для v, будем
иметь:
h h
COX
'-\wdy
_д_
дх
откуда
о
h
ady-\- m(R Н1 - А)
dh dx '
2 j и dy - со [А2- 2 (R -f- Hj) А + х2] = const.
Если в последнее равенство подставить и из (8.3) и использовать граничные
условия (8.2) для давления, то найдём:
Р (X) = 3[АСО
р(а) = 0.
(* [А3 - (7? Н,) А -(- С] ,
