Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
и-ду' V дх'
Чтобы удовлетворить предположению (2.4), необходимо для функции тока
принять следующее выражение:
V/Сч), (2.5)
^ои ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ [ГЛ. VIII
где /(т]) - функция от одной безразмерной переменной т]. При таком
предположении будем иметь:
дл
дх
2х ^ ду 0 г чх ^ ду2 чх ^
(2.6)
Подставляя значения и и v и их производных из (2.6) в первое уравнение
(2.1), получим следующее обыкновенное дифференциальное уравнение третьего
порядка:
2/'" + //" = 0. (2.7)
Граничные условия (2.2) принимают теперь вид:
при т, = 0 / = 0, /' = 0,
ft , I (2.8)
при Т] = оо / = 1 . j
Решение нелинейного с одним числовым коэффициентом дифференциального
уравнения (2.7) в окрестности Т| = 0 можно искать в виде степенного ряда
СО
/(¦"!)= 2 Апт?. (2.9)
71 - 0
Чтобы удовлетворить двум первым граничным условиям (2.8), первые два
коэффициента ряда (2.9) необходимо приравнять нулю:
А0 - 0, Л1 = 0.
Подставляя ряд (2.9) в уравнение (2.7) и приравнивая нулю суммы
коэффициентов при различных степенях переменного т(, получим в конце
концов следующий ряд для искомой функции /('/]):
оо
<2Л°)
11 = 0
В этом ряде коэффициенты сп имеют определённые числовые значения,
например
с0=1, *^ = 1, с2=11, са = 375, с4 = 27 897,
а множитель а является пока неопределённым.
Для установления вида решения уравнения (2.7) для весьма больших значений
аргумента Т| можно применить следующий приближён-
j 2] АСИМПТОТИЧЕСКИЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ПЛАСТИНКЕ 261
[Ый метод1). Решение уравнения (2.7), отвечающее прямолинейно-
[араллельному течению идеальной жидкости, имеет вид
де р - неизвестная постоянная. Первая производная от этого реше-гия всюду
равна единице, следовательно, третье граничное условие 2.8) будет
удовлетворено. Для построения второго приближения
де f - постоянная. Вторая и первая производные от второго принижения
будут представляться в виде
1ижний предел во второй формуле был выбран с тем расчётом, тобы первая
производная от рассматриваемого приближения обращалась в нуль при
бесконечно большом значении аргумента.
Ограничиваясь только двумя первыми приближениями, будем [меть следующую
приближённую асимптотическую формулу для [скомого решения уравнения
(2.7):
Чтобы правая часть (2.14) действительно представляла аналити-еское
продолжение на область вео"1а больших значений аргумента >ункции /(tj),
представляемой для области малых значений аргу-гента рядом (2.10),
необходимо потребовать совпадения значений 2.10) и (2.14) для ряда тех
значений аргумента, при которых обе юрмы могут иметь место. Требуя,
например, совпадения значе-ий (2.10) и (2.14) при трёх значениях
аргумента, получим три равнения для численного определения трёх
постоянных а, (3 и у.
(2.11)
аменим в уравнении (2.7) произведение ff" через /j/з, тогда полу-им
следующее уравнение для второго приближения:
(2.12)
1ыполняя интегрирование, будем иметь:
1п/? = -1(Р -ч)*-Ипт.
(2.13)
f = i1 - PH- Т J dri J
(2.14)
СО
СО
Ч Blasius Н., Grenzschichten in Flussigkeiten mit kleiner Reibung,
ieitschr. fiir Mathematik und Physik, г. 56, 1908.
262
ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
[ГЛ. VIII
На основании такого рода численных вычислений были получены следующие
значения:
а = 0,332, (3 = 1,73, -у = 0,231.
К решению уравнения (2.7) при условиях (2.8) были применены и другие
методы. В частности, методом численного интегрирования была составлена
подробная таблица значений основной безразмерной скорости и11). Некоторые
значения из этой таблицы приводятся ниже.
Таблица!
-n 0 0,2 0,4 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0
"1 0 0,0664 0,1328 0,3298 0,6298 0,8160
0,9555 0,9915 0,9990
Для силы вязкости в точках самой пластинки будем иметь-
Используя данные таблицы 1., получим:
(аиЛ - Ц1 (°>2) - Ц1 (°) _ о ччо \Wo ~-----------0^------" •
Таким образом, сила вязкости в точках пластинки будет представляться в
виде
т = 0,332(Уо/а|/ (2.15)
Умножая обе части равенства (2.15) на 2dx и проводя интегрирование в
пределах от нуля до I, получим следующую формулу для
силы сопротивления трения обеих сторон пластинки длины I и ширины, равной
единице:
i
F=2 fxdx = ЬЗгв^'Уйр/. (2.16)
о
Вводя коэффициент сопротивления трения
C> = -T-f ¦¦ (2-17)
и число Рейнольдса
!) TOpfer, Zeitschr, fur Mathematik und Physlk, т. 60, 1912.
§ 2} АСИМПТОТИЧЕСКИЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ПЛАСТИНКЕ
263
получим: _ 1,328
"уИ" * ( }
Таким образом, коэффициент сопротивления трения пластинки, создаваемого
пограничным слоем, обратно пропорционален квадратному корню из числа
Рейнольдса.
При рассмотрении асимптотического пограничного слоя толщина слоя 8 будет
условной величиной. За верхнюю границу пограничного слоя можно, например,
взять геометрическое место тех точек, в которых величина основной
скорости и отличается от соответственной скорости внешнего потока на один
лишь процент, т. е.
(и^, = 0,99.
Этому значению скорости отвечает в таблице 1 приблизительно* значение т),
равное 5. Учитывая формулу (2.3), получим для толщины слоя следующую
