Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
самой стенки будет представляться в виде
Правая часть (2.24) указывает на то, что сила вязкости на стенке в момент
t зависит от всего предшествующего состояния движения этой стенки.
Обозначим через М массу единицы площади, а через F (t) внешнюю силу,
приходящуюся также на единицу площади стенки и зависящую только от
времени. Составляя дифференциальное уравнение движения стенки с учётом
силы F и силы вязкости (2.24), найдём:
t
MU>=F{t) - ^M - -±= Г (2.25)
у гЫ у Ti'i J у t - т
Таким образом, для определения ускорения движущейся стенки мы получили
интегральное уравнение Вольтерра с ядром, зависящим от разности t - т.
Такого вида интегральные уравнения решаются с помощью того же
преобразования Лапласа.
Умножая левую и правую части (2.25) на
e-^dt,
проводя интегрирование от нуля до бесконечности и вводя обозначения'
e-P*U'dt = -!y, J e-PtF(t)dt = y, (2.26)
получим:
t
л/------------- -----------?= I e-ptdt Г U'JHLdx. (2.27)
¦yC^v ' р yKv J J ~\Ft - t
Предположим, что функция U' (t) такова, что в последнем слагаемом (2.27)
возможна перемена порядка интегрирования. Областью интегрирования (2.27)
служит бесконечный треугольник выше биссектрисы (рис. 80). При первом
интегрировании по переменному т в (2.27) мы должны идти вдоль отрезка Ot,
при втором интегрировании
314
НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. IX
отрезок Ot должен перемещаться вверх от начала координат до
бесконечности. После перемены порядка интегрирования мы должны при первом
интегрировании по переменному t перемещаться по прямой, параллельной оси
г1, от т до бесконечности, а при втором интегрировании эту прямую
необходимо перемещать вправо от начала координат до бесконечности.
Следовательно, будем иметь:
со t оо СО
-pt -
Yt - i
Полагая затем
t - т - х, и учитывая (2.26), получим:
dt = dx
Г СО СО
e~Ptdt Г -= \ e-mU'ftdx f е-Рх~=~л/Г J Yt - t J ¦) Y x
p у p
Y~;
Таким образом, соотношение (2.27) представится в виде ' М
W
к
JA F* pU (0)
р ¦ pYw' р Y^p
Отсюда для преобразования Лапласа от ускорения будем иметь:
F* ^U( 0)
Ml- А
Р -
Yp'1
М +
(2.28)
Yp'/
Применяя равенство (2.6), получим:
ОО
и'*
Рис. 80.
е-РЮ' dt-.
= U*
U( 0), (2.29)
где - преобразование Лапласа от ско-
рости.
Приравнивая правые части (2.28) и (2.29), получим следующее выражение для
преобразования Лапласа от переменной скорости движущейся стенки:
U(0) F'*
W = М ---------?-------. (2,30)
1 +
1
Рассмотрим тот случай, когда внешняя сила F отсутствует и когда стенка
после получения некоторой начальной скорости U (0)
ДИФФУЗИЯ ВИХРЕВОГО слоя
315
движется только под действием тормозящей силы вязкости. Для определения
по изображению (2.30) оригинала мы можем воспользоваться, как указывалось
выше, справочными таблицами или провести те же рассуждения и вычисления,
которые были проведены выше при введении в рассмотрение замкнутого
контура ABCDEFA. В результате для оригинала скорости движения стенки
можно получить выражение
к VI
U(t) = U(0)ekH[l -?=- ( е-^Чз], (2.31)
' о
где
k = -. (2.32)
М j/\
В правой части (2.31) находится функция, которая широко используется в
теории вероятностей. Вводя для этой функции обозначение
ОО
0(д;) = -|=г Ге-^З, (2.33)
V П J г о
будем иметь:
(2.34)
Полагая, например,
*1/7 = 0,01,
по таблицам, приводимым в курсе теории вероятностей, получим:
0(* 1/7) = 0,0.1128,
2 е~кч - 1,1283,
u(t) -0,9888.
U( 0)
Таким образом, скорость движущейся плоскости уменьшается примерно на 1
°/0 по прошествии промежутка времени, определяемого из соотношения
¦ж/т=<м"-
§ 3. Диффузия вихревого слоя
Если плоская стенка начнёт перемещаться с постоянной скоростью U, то
скорость прямолинейного движения частиц вязкой несжимаемой жидкости будет
определяться по формуле (2.20). А теперь изменим постановку задачи. Пусть
до момента времени t = 0 частицы жидкости и стенка имели постоянную
скорость U в отрицательном
а 1 о
НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ вязкой жидкости
[ГЛ. I
направлении оси х. В момент t~ О стенка _у=0 была внезапно остановлена.
Требуется установить, как будет происходить торможение движения всей
жидкости. Легко проверить, что решение этой новой задачи мы получим, если
из правой части (2.20) вычтем скорость U, т. е. если положим:
ОО СО
" " и (1 - v J ¦5|л т)-"=~ tJ*- (tm) ~ • ("¦')
о ' о '
Выражение в правой части (3.1) будет обращаться в нуль при у = 0, 1>0 и
при t = 0, _у:= 0 и будет равно -- U при у = оо. Для всех
промежуточных значений у от нуля до бесконечности скорость и будет
отрицательной, т. е.
при 0 < у < сю и (У, t) < 0.
( Распространим это решение (3.1) и для отрицательных значений у. Тогда
будем иметь:
при 0>_у> - оо и(у, t)~y> 0,
Рис. 81. и при этом для значения у ~ - оо
скорость и (у, t) будет равна U. Следовательно, выражение (3.1) для всего
пространства будет означать то, что для начального момента времени
частицы жидкости, расположенные выше оси х(_у>0), имели скорость -U, а
частицы, расположенные ниже оси х, имели скорость -f- U, и сама ось
