Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
значением (2.5). В результате получим следующую формулу обращения
преобразования Лапласа:
Таким образом, если не пользоваться готовыми таблицами, то для
определения оригинала по изображению необходимо выполнить квадратуру по
комплексному переменному р вдоль бесконечной прямой, параллельной мнимой
оси и отстоящей от неё на расстоянии о. Прямая Re (р) = з называется осью
сходимости интеграла Лапласа
(2.5), так как, по предположению, этот интеграл сходится, если
ОО
0
тельное число. Тогда для функции
f (t) - e~ztu (t)
(2.11)
^(t)=~ j* da j" f (/,) e-ai'(x-n dk.
(2.12)
- 00
Подставляя значение *f(t) из (2.11), получим:
с -г со -оо
-оо
o+ioo
р
(2.14)
С - { СО
31U
НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IX
Re О) > з. Интеграл в правой части (2.14) понимается в смысле своего
главного значения. Для вычисления интеграла (2.14) можно пользоваться
некоторыми теоремами, доказанными для интегралов
такого вида. В частности, если и* представляет собой регулярную функцию в
любой конечной части плоскости комплексного переменного р, за
исключением множества точек, представляющих собой
полюсы этой функции, то значение всей правой части (2.14) пред-
ставляется в виде суммы вычетов, т. е.
_L J e*a*^ = 2rn(f). 12.15)
a-гоо п - О
Й*
где rn{t) - вычет функции еРь- в точке р = рп. В других случаях
при наличии точек ветвления функции и* приходится контур интегрирования
деформировать и использовать, например, лемму Жордана, согласно которой
lim Г Ф (z) ezt dz - 0 при t > 0, (2.16)
n ->oo J
Ьп
"К Зг
где Сп-дуга окружности \z\ = Rn, -н- < argг;< и lim/?" = co;
z z п-> ОО
при этом предполагается, что сама функция Ф (z) на дугах Сп равномерно
стремится к нулю относительно arg z при п -> оо.
Возвращаясь к рассматриваемому нами случаю (2.10), получим из (2.14)
выражение для оригинала в виде
a + ioo у--
•О-. 0 = ? J <8.-17,
a-too
Подинтегральное выражение (2.17) имеет особую точку в начале координат,
представляющую собой точку ветвления. Проведём на плоскости комплексного
переменного р Рис. 79. контур ABCDEFA, состоящий из отрезка
прямой a - /со и з-f^Zoo при малом значении а, из полуокружности радиуса
R, двух разрезов CD и EF и малой окружности DE вокруг начала координат
(рис. 79).
В области, ограниченной замкнутым контуром ABCDEFA, функция, стоящая под
знаком интеграла (2.17), не имеет никаких особенностей, а поэтому по
теореме Коши
j* Ут dp = о.
ABQDEFA Р
I 2] ДВИЖЕНИЕ НЕОГРАНИЧЕННОЙ плоскости в вязкой жидкости 311
Отсюда получим:
J р J \ / р ' \ ) р
АВ ВС CD
pt-1i\f\dp___ Г/ \d?_ П \dp_
АВ
ВС
CD
где в скобках под знаками интегралов в правой части должна находиться та
же функция, которая стоит в левой части под знаком интеграла. Будем
теперь увеличивать радиус полуокружностей до бесконечности. Тогда
интеграл в левой части (2.18) будет стремиться к интегралу (2.17).
Интегралы в правых частях по дугам окружностей ВС и РА согласно лемме
(2.16) будут обращаться в нуль. Интеграл по окружности DE будет
представлять собой вычет рассматриваемой функции в точке р = Ос обратным
знаком, умноженный на 2ш.
Таким образом, из (2.18) будем иметь:
Преобразуем переменные интегрирования в правой части (2.19). Для разреза
CD положим:
Г ^Р_
' D
Р
(2.19)
EF
р = <х2ел* =
а2, Yp~ ае* =fa, dp = -2а d<x,
тогда для разреза ЕР будем иметь:
jо=а2е~л{ = -a2, Yp = ае 2 =-*'а> dp=-2а da.
Используя новые переменные, из (2.19) получим:
312
НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. IX
Таким образом, окончательное решение рассматриваемой задачи
представляется в виде
ОО
и (у, t)=u( 1 - 1 ( e-^sin^L--\ (2.20)
о F v а /
Подсчитаем теперь значение силы вязкости на движущейся стенке:
оо
I ди\ 2\±U f а.
t = |aU- - e-atd а.
\оу /у = о ¦к у У
' о
Интеграл в правой части можно представить через интеграл Пуассона
со оо
j e-."t da = -1= j e-"* dx=\yr^.
о r о
Следовательно, сила вязкости на движущейся с постоянной скоростью стенке
равна
1 = $Н=г (2.21)
Yт.'Н •
В момент начала внезапного перемещения плоскости с конечной скоростью
сила вязкости т обращается в бесконечность, что естественно ожидать по
аналогии с явлением удара. Однако, если подсчитать импульс силы вязкости
6
f-dt
о
и устремить промежуток времени его действия а к нулю, то получим для
импульса значение нуль. Таким образом, импульс, потребный для внезапного
приведения плоскости в движение с конечной скоростью, будет зависеть
только от массы самой плоскости и не будет совершенно зависеть от
плотности и вязкости соприкасающейся со стенкой жидкости.
Если стенка будет перемещаться с переменной скоростью, зависящей явно от
времени:
U = U [t),
то решение задачи о передаче движения от стенки к слоям жидкости можно
представить на основании формулы Дюгамеля (1.12) в виде
и (у, t)=U(0)u1(y, t)-\ j U'{fz)u1{y, t - т)di, (2.22)
§ 2] ДВИЖЕНИЕ НЕОГРАНИЧЕННОЙ плоскости в вязкой жидкости 313
где
ии
и1 (у, t) ~ 1 - Г е~лЧ sin ' (2.23)
71 J у v а
о т
В частности, сила вязкости на стенке при переменной скорости движения
