Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Слёзкин Н.А. -> "Динамика вязкой несжимаемой жидкости" -> 105

Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.

Слёзкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости — М.: Технико-теоретической литературы, 1955. — 520 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamikavyazkoynesjimaemoyjidkosti1955.pdf
Предыдущая << 1 .. 99 100 101 102 103 104 < 105 > 106 107 108 109 110 111 .. 170 >> Следующая

х
представляла собой скачок скоростей (рис. 81). Таким образом, функция
(3.1) выражает собой рассасывание начального скачка скоростей благодаря
вязкости жидкости.
Найдём теперь по скорости (3.1) значение вихря. В рассматриваемом случае
вихрь будет представляться в виде
1 / dv ди\ 1 с(и
№ ~ "2 \дх ду) ~~~"2 ~ду'
СО
о)= -f е~аН cos ~=d<j. (3.2)
71 у V J у V
У



й




Для вычисления интеграла (3.2) поступаем следующим образом. Положим = Ъ и
обозначим интеграл через У, т. е.
ОО
У= J е~аЧ cos bo. da, (3.3)
'§ 3| ДИФФУЗИЯ ВИХРЕВОГО СЛОЯ 317
Дифференцируя этот интеграл по параметру Ь, получим:
¦^г = - | sin boodo.
: - J е~аЧ sir
о
Выполняя интегрирование по частям, будем иметь:
оо оо
j е~аЧ sin&a adct - j* sin bet
и о
D OO
+w!e~
Я
о
-^е~аЧ s*n bo.
a=0 0
a>t cos ba do..
Первое слагаемое в правой части при подстановке верхнего и нижнего
предела обращается в нуль, а второе слагаемое представляет
собой первоначальный интеграл с множителем . Таким образом,
получим следующее дифференциальное уравнение для J:
dJ b .
Ж- W
После разделения переменных и интегрирования будем иметь: Отсюда
In У = - J_62+!n с.
J=Ce ". (3-4)
Полагая параметр b равным нулю и используя значение интеграла Пуассона,
получим:
ОО
(^=0 = / =4 т =<3-5)
о
Подставляя значение С из (3.5) в (3.4) и значение интеграла (3.4) в
(3.2), найдём конечное выражение для вихря скорости
у3
<3-6)
2 у vTtf
Полученное выражение (3.6) показывает, что для начального момента вихрь
всюду был равен нулю, кроме оси х. На оси же х (у = 0) вихрь в начальный
момент был равен бесконечности. На этом основании функцию (3.6) можно
называть функцией источника вихревого слон, расположенного на прямой у -
0 и начавшего своё действие с момента ^=0. Если же источник вихревого
слоя будет расположен не на прямой у - 0, а на прямой у = о\ и начнёт
своё
318
НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ (гл. lit
действие не с момента t = О, ас момента t = х, то функция источника
вихревого слоя будет представляться в виде
(у-т<)а
g т)
О) (у, t\ Т,, т) =
U
2 У чп (t - т)
(3.7)
Правая часть (3.6) обращается в нуль при значении у, отличном от нуля,
дважды: при t = 0 и при t - оо. Следовательно, по теореме Ролля в
промежутке от t = 0 до t = со на каждой прямой у = с интенсивность вихря
будет достигать своего экстремального значения и график изменения вихря
на этой прямой со временем будет примерно представляться в виде кривой,
показанной на рис. 82.
Положение точки максимума на этой кривой мы определим, если найдём
производную от (3.6) по времени
dt
2 У чк
\ 2 4ч )
и приравняем её нулю. В результате получим следующее выражение
для времени tm наступления максимума завихрения на данной прямой,
параллельной оси х:
t - - т - 2ч
(3.8)
Рис. 83.
Если мы зафиксируем момент времени t и будем рассматривать интенсивность
вихря (3.6) как функцию только от переменного у, то получим график этой
функции, изображённый на рис. 83. Этот график показывает, что на прямой у
= 0 интенсивность вихря будет максимальной для любого момента времени, но
на основании (3.7) можно видеть, что с течением времени этот максимум
будет убывать. Рассмотренное нами явление рассасывания вихревого слоя,
имеющего место на оси х, и связанное с ним явление передачи вихря от
одного слоя к другому называются диффузией вихревого слоя.
На множитель U в выражении (3.7) можно смотреть как на мощность источника
вихревого слоя. Если вихревые слои будут заполнять целую полосу от у = а
до у = Ь, то, вводя в рассмотрение
§ 4) ДВИЖЕНИЕ МЕЖД^ НЕОГРАНИЧЕННЫМИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ СТЕНКАМИ 31§
мощность вихря q (tq), приходящуюся на единицу длины i), мы можем
получить функцию источника от элемента длины полосы вихря в виде
lM?le-йг .
2 У4nt
Проводя интегрирование, получим функцию от непрерывного распределения
источников вихревых слоев
1 л
] qWe Ш drt' (3,Э)
а
Можно ввести также в рассмотрение и непрерывную последовательность
источников вихревого слоя во времени от момента : = 0 до момента т = Т.
Для этого случая функция вихря равна
т ^
а (у, 0 = ri= f q(de~W=*-?=r. (3.10)
2 у vji J у t - т
По функции источника вихревого слоя (3.7) можно образовать функцию диполя
вихревого слоя с помощью дифференцирования (3.7) либо по параметру г,
либо по параметру т)
,, г , ч,-1
а (у, t)= , - е *•"<*-*)[! - -3L1, (3.11)
4 У\я (Г x)S L 2ч (t-%)J
и АУ-*У
m{y, t) = -(3.12) 4v у чк (Г - t) Г - т
Выражения (3.7), (3.9), (3.10), (3.11) и (3.12) - частные решения
дифференциального уравнения вихря одномерного поля скоростей, которое мы
получим из (2.1) с помощью дифференцирования по у.
dt ду2- (ЗЛЗ)
Уравнение (3.13) совпадает с уравнением одномерной задачи теории
теплопроводности, а введённые выше функции источника (3.7) и диполей
(3.11) и (3.12) совпадают с соответственными функциями теплового
источника и тепловых диполей.
§ 4. Движение между неограниченными параллельными стенками
Допустим, что неограниченная стенка, совпадающая с плоскостью xOz,
Предыдущая << 1 .. 99 100 101 102 103 104 < 105 > 106 107 108 109 110 111 .. 170 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed