Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
144 ТОЧНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. IV
Интеграл, входящий в правую часть (10.29), имеет следующее значение:
du
V(Ч - ")
ех
__ __ Г du______________________________________________________
= arc sin
ft ' 2
ft
2
: ТТ.
Следовательно, неравенство (10.29) представляется в виде
^ п
2/ ¦+?
(10.30)
Таким образом, расходящееся течение в плоском диффузоре возможно при
половинном угле раствора <р0, удовлетворяющем неравенству (10.30). С
увеличением расхода, т. е. увеличением ev и с уменьшением кинематического
коэффициента вязкости ч предельный угол раствора диффузора для чисто
расходящегося течения будет уменьшаться.
Из неравенства (10.30) будем иметь:
<
а из неравенства (10.28) получим:
Ч ^ Q
V ^ 2vtp0 •
Следовательно, правая часть второго неравенства будет заведомо меньше
правой части первого неравенства
(10.31)
Так как расход Q имеет размерность произведения скорости на длину, то
отношение расхода к кинематическому коэффициенту вязкости можно взять за
число Рейнольдса плоского диффузора, т. е.
*="¦
Таким образом, чисто расходящееся течение в плоском диффузоре возможно
только при тех значениях числа Рейнольдса, которые удовлетворяют
неравенству
R<(^-12<р0). (10.32)
Например, при <р0:
Ло
; ^ = 10° должно быть:
JO
R < 168.
§ 10) ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ РАДИАЛЬНОЕ ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 145
Если число Рейнольдса немного превзойдёт предел, допускаемый неравенством
(10.32), то в ядре вблизи линии симметрии течение будет расходящимся, а
вблизи стенок теоретически оно должно было бы стать сходящимся, а
практически будет происходить отрыв жидкости от стенок. Таким образом,
рассмотренная задача о радиальном течении в плоском диффузоре поучительна
в том отношении, что решение её указывает теоретически на возможность
отрыва жидкости от стенок в расходящемся течении, что в действительности
часто и происходит.
Обратимся теперь к чисто сходящемуся течению. Соотношение (10.25) можно
также представить в виде
О
"=/*/-У (<1
Легко показать, что чисто сходящееся течение возможно при любых значениях
числа Рейнольдса. Для этого будем уменьшать значение коэффициента
вязкости до нуля. Так как левая часть (10.33) имеет конечное значение, то
уменьшение ч до нуля должно сопровождаться увеличением до бесконечности
интеграла в правой части, что вполне возможно при приближении значения е3
к значению е.2. Этим собственно и доказывается то, что чисто сходящееся
течение в кон-фузоре возможно и при очень больших числах Рейнольдса (при
очень малых значениях v). Учитывая это, и считая v очень малым, можно
положить в (10.23).
е.2 е.3,
е^-2е2,
тогда получим:
% ='}f ^i.4-u)V - u-2e2.
dr-р
Проводя интегрирование, получим
du
(и - е2) V - (и + 2е2)
или
]Д.!*
о~ 'I
_ 1 |п (1~2 + /3) (V - (2 е2 + и)+У- Зе2)
у - Зе2 (У2 - "л3) (У - {2е,. + и) - У - Зе2) '
= (5 + 2 (10.34)
\ - \ - (2^2
Если кинематический коэффициент вязкости очень мал, то левая часть будет
достаточно велика при любом значении угла <р, отличном от <р0.
146 ТОЧНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. IV
Чтобы при этом и правая часть (10.34) была также велика, необходимо и
считать близким к е.2. Это означает, что в сходящемся течении в плоском
конфузоре при больших числах Рейнольдса распределение скоростей по углу
ср будет почти равномерным, и лишь вблизи стенки эта скорость будет
быстро убывать до нуля (рис. 40). Если бы жидкость считалась идеальной,
то в случае стока на плоскости
радиальная скорость представлялась бы в виде
и, следовательно,
u=rvr - - - const. (10.35)
Сопоставляя этот результат с предше-
ствующим заключением, мы приходим к выводу, что при больших числах
Рейнольдса вязкость проявляется
лишь в тонком слое вблизи стенки.
Рассматриваемое в этом параграфе плоское радиальное течение является
простейшим частным случаем того точного решения дифференциальных
уравнений движения вязкой жидкости, которое было впервые установлено
Гамелем ') и затем обобщено Озееном 2) и Розенблаттом 8).
§ 11. Вращение безграничной плоскости
В предшествующем параграфе данной главы рассматривались такие случаи
движений, для которых дифференциальные уравнения установившегося движения
вязкой несжимаемой жидкости решались точно благодаря упрощающим
предположениям о характере траекторий частиц жидкости. Но к использованию
полных дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости можно
подойти и
с другой стороны, а именно делать заранее предположения не о характере
траекторий частиц, а о характере тех функций, через которые
представляются проекции вектора скорости и давление. Этим путём при
удачном выборе характера функций для скоростей и давлений можно в
отдельных случаях от системы дифференциальных уравнений с частными
производными перейти к системе обыкновенных дифференциальных уравнений,
которые можно решить, по крайней мере, численным способом.
Э Hamel О., Spiralformige Bewegungen zaher Fliissigkeiten, Jahres-bericht
