Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
(8.3)
откуда
ш2а2 - coji2 1 - a2 _ *2 >
(8.4)
§ 8] КРУГОВОЕ ДВИЖЕНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ВРАЩАЮЩИМИСЯ ЦИЛИНДРАМИ 135
Подставляя значения постоянных С, и С2 в равенства (7.9), (7.10) и
(7.12), будем иметь следующие формулы для скорости, давления и силы
вязкости:
Подсчитаем момент всех сил вязкости, распределённых по какой либо
окружности радиуса г, относительно оси симметрии. Обоз начая этот момент
через L, будем иметь:
Подставляя выражение рГ9 из (8.7), получим выражение момента сил вязкости
в виде
Таким образом, момент сил вязкости, распределённых по любой окружности,
относительно оси симметрии не зависит от радиуса этой окружности. Это
значит, что если мы возьмём слой, ограниченный двумя окружностями, то
моменты сил вязкости, распределённых по этим окружностям, будут равны по
величине, но обратны по знаку (в силу разных направлений нормали), т. е.
для моментов сил вязкости будет выполняться уравнение равновесия.
Впервые задачу о движении жидкости между двумя вращающимися круговыми
цилиндрами решил Ньютон1). При решении этой задачи он впервые формулирует
свою гипотезу о вязкости жидкости, но уравнение для скорости им было
составлено неправильно. Ньютон исходил из равновесия самих сил вязкости,
а не их моментов. На эту ошибку указал Стокс2), который дал правильное
решение задачи. Более подробное решение рассматриваемой задачи с учётом
граничных условий частичного торможения частиц жидкости вдоль
поверхностей цилиндров было дано в работе Н. П. Петрова3).
1) Ньютон И,, Математические начала натуральной философии, перев. А.
Н. Крылова, Собрание сочинений, т. VII, стр. 486.
а) S t о k е s О., Trans. Cambr. Phil Soc. 8, 287, 1845.
3) Петров H. П., Трение в машинах и влияние на него смазывающей
жидкости, сборник "Гидродинамическая теория смазки", изд. 1934.
(8.5)
Р = ^2_-р)2 [К"2 - "г*'")'3 ^ + 2 a-P ((ut - <о2) (ш.2а2 -
ш2а2 - (и*#2) In г -
(coj - ш.2)з аШ 2^
" о" (Ю1 - <ч2)Д2й2
Prt- (Д2_Й2)Г2 •
•]+С8, (8.6)
(8.7)
О
4ml К-с^)^2
- 4я!1 аа _ 62
(8.8)
136 ТОЧНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. IV
Рассмотрим частные случаи. Уменьшая значение радиуса внутреннего цилиндра
b до нуля, получим из (8.5), (8.6), (8.7) и (8.8):
V9 - - ш0Г
2' >
Р ~ 2 ^3' (
Рг" = 0.
1 = 0.
(8.9)
Полученные формулы (8.9) представляют решение задачи о вращении кругового
цилиндра, наполненного вязкой жидкостью. Таким образом, при
установившемся движении вязкая жидкость внутри цилиндра вращается как
абсолютно твёрдое тело. Для поддержания равномерного вращения цилиндра с
вязкой жидкостью не требуется момента внешних сил. Чтобы получить решение
задачи о вращении круглого цилиндра в безграничной жидкости, необходимо в
формулах (§.5), (8.6), (8.7) и (8.8) вначале положить:
(о2 = 0,
а затем радиус внешнего цилиндра а увеличивать до бесконечности. В
результате мы получим:
U)j&2
i>j о
р - с.Л 2/>а,
п - _ 2|XU1i6a "гч /-2 '
L- - 4irpcDjft2 .
(8.10)
Первая формула (8.10) показывает, что скорость частиц изменяется с
расстоянием от оси так же, как если бы на оси цилиндра располагалась
вихревая нить и жидкость была бы идеальной. Следовательно, движение
частиц вне цилиндра в этом случае, как уже было указано в § 1 главы III,
будет потенциальным. Для поддержания равномерного движения цилиндра в
неограниченной жидкости необходимо приложить момент внешних сил,
пропорциональный угловой скорости вращения цилиндра, коэффициенту
вязкости и квадрату радиуса цилиндра.
Полученное выражение (8.8) для момента сил вязкости используется в
приборах с концентрическими цилиндрами1), предназначенных для
экспериментального определения вязкости. Измеряя каким-либо способом
момент сил вязкости, мы получаем возможность по этой формуле подсчитать
значение коэффициента вязкости.
Ч Г а т ч е к Э., Вязкость жидкостей, ГТТИ, 1932, стр. 47.
§ 9] ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ МЕЖДУ ИСКРИВЛЁННЫМИ СТЕНКАМИ 137
§ 9. Движение жидкости между искривлёнными стенками
Рассмотрим теперь случай, в котором частицы жидкости в своём движении
описывают не полные окружности, а лишь некоторые их части. Один из
примеров такого рода движений вязкой несжимаемой жидкости был рас-
8
Рис. 34.
смотрен Н. Е. Жуковским!) в работе, посвящённой гидродинамической теории
трения. В этой работе рассматривается вращающийся цилиндр, охваченный
лишь частично подшипником, имеющим вырез Ьс, наполненный маслом (рис. 34)
Предполагалось, что траектории частиц в слое Ьс представляют собой дуги
концентрических окружностей. Мы же рассмотрим другой случай такого вида
движений жидкости.
Предположим, что течение вязкой и несжимаемой жидкости происходит между
двумя неподвижными стенками, представляющими собой в сечении две дуги
окружностей с радиусами Ьиаи общим центром (рис.35).
Предполагая, что частицы жидкости перемещаются строго по дугам
концентрических окружностей, для скорости Vy будем иметь формулу (7.9).
На основании этой формулы для рас.
хода Q через сечение рассматриваемого криволинейного канала получим еле
