Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
В уравнениях (11.1) примем поперечную скорость vv равной нулю и введём
функцию тока ф, полагая
1 <Эф 1 дф
t<r = ----г-, vg = ~-2. (12.1)
г дг г дг
Тогда первое и третье уравнения (11.1) можно представить в виде
(12.2)
д (у2г + у2А 1 дф , }_др у дР<Ь
дг\ 2 ) дг ^ ^ а дг г дг '
д (vr + vi\ 1 аф , j др у арф
дг V 2 / г2 дг ^ р дг= г дг '
где D - оператор Стокса, равный
° = й-тгг + т- <12-3>
Перейдём теперь к сферическим координатам R и 0 и положим:
г = R sin 0,
г = Ц cos 0.
Отсюда будем иметь соотношения
дг 1 дг
_=Sin0-~?-^,
дг . 1 дг
d/?-cos9=T?d0-
Умножая в первый раз левые части (12.2) на ^ и ~ соответственно,
1) Слёз кин Н. А., Об одном случае интегрируемости полных диффе-
ренциальных уравнений движения вязкой жидкости, Учёные записки МГУ вып.
II, 1934.
§ 121
СЛУЧАЙ ИМПУЛЬСНОГО ИСТОЧНИКА
101
а правые части на •
1 dz 1 дг " дг
TTTJ и -кз, а во второй раз левые части на ^ и
R ou R 00 со
а правые - па R ^ и-и складывая, получим дифференциальные уравнения
движения в сферических координатах
^ | 1 др
dR\2 д_ дЬ
(4 Т.)-
R* Sin2 Db
dR
д<\>
Р dR 1 dp
R2 sin2 0 <50 p <Э0
v dDb Ri sin 0 <50 ч dDb sin 0 dR '
(12.4)
Исключая из уравнений (12.4) с помощью перекрёстного дифференцирования
давление, получим следующие дифференциальные уравнения для функции тока:
1 /<5ф<Шф <5ф<Юф\ 20ф Idb
Z?2 sin 0 \d/? <50 db dR ) /?^Sinae \<Э/?
cos 0 -
^л)=-'DDi' <I25)
гАе оператор Стокса имеет вид
<52
D =
sin 0 д / 1 д \
dRl ^ Ri <5O\Sin0<5S)
(12.6)
Компоненты скорости vR и t/g будут представляться через функцию тока в
виде
1 <5ф / 1 <5?\ . 1 <5ф / 1 <5 Л _ 1 <5ф
г dz \ R дЪ ) г дг \R дЪ) A?2sin 6 <50 '
R ¦
- v, cos I
n in 1 <5ф <5г t/9=,^cos0 - t/asin0 = -
1 <5ф dr
TdrdR'
1 <5ф
Наконец, полагая
cos 0 :
будем иметь для функции тока уравнение в виде
* аф\_
vV? дъ +1- т2 dR}~
дф <50ф дъ dR
<5ф <50ф dRds
R sin 0 dR '
(12.7)
(12.8)
-м#2ООф, (12.9)
при этом
D =
VI)
<52
1 - T2 <52
dR 2
R* <5т2 '
1 <5ф /?2<5т ' 1
<5ф
LlLv*.
dR\2
-LiLyz.
<5х\2
к /1 _ ,а dR'
f)~
?\___________I _
р ) _ 1 - т2 dR 7?2 ( 1 - Т.2) д1
v dD'lp Dф <5ф
№lh~ + R2(l - -zn")dR' dDb Db db
(12.10)
(12.11)
(12.12)
152 ТОЧНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ (ГЛ. IV
Решение дифференциального уравнения (12.9) будем искать в виде
произведения произвольной функции от переменного с на радиус R
ф = Я/(с).
При этом предположении будем иметь:
= -?-/'('Ь Wl( = _ 1 /j-"). . 1 -
Лф =-----75-/"
(12.13)
д / 1
HR (Ф1,1 + f) - -i ж1(1 -*>¦+ S5 "•
(12.14)
, J4-?^ =----1 /" _U - f" f I
дт\2 + р/ Я* 4 +/?2; 7 '
Интегрируя последнее соотношение по т, получим для давления:
(12.15)
Дифференциальное уравнение (12.9) для функции тока представится в виде
Так как
-// - 3/Г = - V [(1 - 1*)г -4-С/ ].
(тГ= (//т = (//"+ //2=///"+3///'
[(1 - х2)// + 2с/]'" = (1 - c2)/IV - 4с/", то дифференциальное уравнение
(12.16) представится в виде
Р - 2 vt/j = 0.
(12.16)
(12.17)
Проводя интегрирование, получим дифференциальное уравнение Риккати
-/2 - v(l - с2)// _2vc/=Cq 4 CjC + С2с2.
(12.18)
С помощью подстановки
/= - 2у(1 - с2)
1
(12.19)
уравнение (12.18) приводится к линейному уравнению второго порядка <&У С0
4- Ctc 4- С2с2
di 2
2v2(l - с2)2 2 ПОЛОЖИТЬ р
_у = л 4- Вт.
-у - 0.
(12.20)
Если все постоянные Со, С: и С2 положить равными нулю, то получим решение
уравнения (12.20) в виде
СЛУЧАЙ ИМПУЛЬСНОГО ИСТОЧНИКА
15а
Отсюда будем иметь:
у' ____ В у ~~ A -j- Вт
/ = - 2v 1 ~
С + х
С + Х •
(12.21)
Простейшее решение дифференциального уравнения (12.18), представленное в
виде (12.21), было получено Ландау!) и истолковано как решение,
отвечающее затопленной струе. Другие случаи интегрирования уравнения Рик-
кати (12.18) рассмотрены в книге Седова2).
Чтобы истолковать гидродинамический смысл решения, отвечающего функции
тока (12.13), обратимся к выражениям (2.11) главы II векторов, образующих
тензор плотности потока импульсов. В сферических координатах эти три
вектора представятся в виде
- 9vr Pr< \
"л
°9 = Р v%V-P*
<Р
(12.22)
где V-вектор скорости, а рд, р$ и р -векторы напряжений по площад-; зм,
перпендикулярным к координатным линиям R, в и <р. Для рассматриваемого
нами случая осесимметричного движения для компонент тензора напряжения из
(6.9) главы II будем иметь:
Prr ~ Р +
dvR
dR
= - р-Г 2р
^0 ctg I R
и- dv±
R R ~дЪ
PRb
PuR
R 50
= 0,
P <f9
= 0.
(12.23)
Так как компоненты скорости из (12.14) обратно пропорциональны радиусу, а
давление из (12.15) обратно пропорционально квадрату радиуса, то каждый
из трёх векторов (12.22), представ ляющих тензор плотности потока
импульсов, ciS
будет обратно пропорционален квадрату сферического радиуса. Это значит,
что если мы проведём из начала координат пучок направлений, образующих
круглый конус с небольшим углом раствора (рис. 42), то для всех сечений
этого конуса про- Р'1С- 42.
изведение каждой составляющей из трёх векторов а на площадь сечения будет
одним и тем же. В частности, будет одним и тем же поток вейтора-импульса,
