Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
Для расхода Q будем иметь следующее выражение:
фо Фо
Q = 2j4rrf? = 2j ud<s. (10.13)
§ 10] ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ РАДИАЛЬНОЕ ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 141
Будем различать два случая радиального течения: расходящееся и
сходящееся. Для расходящегося течения радиальная скорость положительна, а
величина и убывает от оси к верхней стенке, т. е.
Vr > °* % < °* 0 < ? < То. а для сходящегося течения, наоборот,
Vr < °* % > °* 0 < Т < То-
Обозначим корни многочлена (10.10) через ev е2 и еъ, т. е. положим:
F (и) = (и - е±) (и - р2) (и - еэ).
Сумма этих корней равна коэффициенту при квадрате в (10.10) с обратным
знаком
ei~\~ е2~\~ ез - -' (10.14)
Пусть все эти корни действительны и пусть
et > е2 > е.3.
Тогда примерный график этого многочлена будет представляться кривой,
подходящей к оси абсцисс и с отрицательной стороны оси ординат и
пересекающей ось абсцисс три раза (рис. 38). Так как много-
член входит в правую часть (10.9) с отрицательным множителем, а левая
часть существенно положительна, то области графика, где многочлен будет
положительным, должны исключаться из рассмотрения (эти области покрыты
штриховкой). В силу граничного условия (10.12) начало абсцисс (и = 0)
должно входить в области, где /7(а)<0. Но левее точки и - еъ начало оси
абсцисс не может быть, ибо тогда все корни оказались бы положительными, а
это исключено соотношением (10.14). Следовательно, начало оси абсцисс
должно располагаться где-то между г, и г2 и оно будет разбивать область
возможного радиального течения на две отдельные области. Для области
справа от начала мы будем иметь:
0 е2е.3 > 0. (10.15)
142 ТОЧНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. IV
Этой области будет отвечать чисто расходящееся радиальное течение. Для
области же слева от начала будут иметь место неравенства
м <;о,
о,
(10.16)
т. е. этой области будет отвечать чисто сходящееся течение. Так как корни
многочлена F(u) отвечают экстремальным значениям функции и (ср), то в
первом случае величина ех будет представлять собой
максимальное значение и, имеющее место на линии симметрии (ср = 0), а во
втором случае е2 будет представлять. минимальное значение и, имеющее
место также при ср = 0.
Если же многочлен F (и) будет иметь только один действительный корень ev
то график этого многочлена будет примерно представляться кривой на рис.
39. Область, расположенная справа от ех, где /?(м)> 0, должна исключаться
из рассмотрения. Начало оси абсцисс должно располагаться тогда слева от
ev Области, расположенной между началом и ех, будет отвечать чисто
расходящееся течение, для которого имеют место неравенства
Рис. 39.
0 < и < eL, е2е3 > 0.
(10.17)
Таким образом, для чисто расходящегося течения из (10.9) и (10.13) имеем:
dU = - ]/" §; /К- к)[к2 - (e2-\-e3)u-\-t 2 и
Фр
dQ = 2и dcp :
¦ ^3]
у (ех - и) [цЗ _ (е2 4- е3) и + е2е3]
(10.18)
(10.19)
Проводя интегрирование по переменному и в пределах от ех до нуля, а по ср
от нуля до <р0 и используя (10.14), получим:
в1
du
У1-=1
У (е1 - и) Iм2 + (6х + ех) и 4- е2еъ\
(10.20)
и du
и) [цз 4- (6v 4- ех) и 4- е2е3]
е2е.й > 0, ^ ~Ь е-2 "У ез - -6v.
(10.21)
(10.22)
Полученные соотношения (10.20), (10.21) и (10.22) позволяют определить
значения трёх корней ev е2, е3 по заданным значениям ср0, Q и v.
Практически же, конечно, удобнее поступать в обратном
§ 10] ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ РАДИАЛЬНОЕ ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 143
порядке, т. е. задавать два значения из трёх ev е2, е3 и определять
отвечающие им значения ср0 и Q. Для чисто сходящегося течения из (10.9)
будем иметь:
% = УГ Т,У(е2 - ") ["'2 + (6* ¦+ е2) и + Vel, (10.23)
dQ = 2и d<? = 2 \ГЦ 11 du . (10.24)
* 2 V(e2 - и) + (6v + <?2) и + ехе3]
Для определения же значений ev е2 и е8 должны быть использованы следующие
соотношения:
о
т/1ср0= Г - du = , (10.25)
' Зч J Y("2 - и) № + (6v + "2) ч + е1ез 1
еа
0
( udu ^=t (10.26)
2 У 3v J _ и) [ц2 _|- (6v + <?2) и +
в2
ехез ^ ех Н-ея "Ь ез "- 6ч. (10.27)
На основании соотношений (10.20), (10.21) и (10.22) можно показать, что
чисто расходящееся течение будет возможно только при сравнительно малых
углах раствора плоского диффузора. Чтобы
показать это, установим два неравенства. Если правую и левую части
(10.20) умножить на ev то в силу того, что
и < ev
правая часть (10.20) с множителем et будет больше правой части
(10.21). Следовательно, будем иметь неравенство
¦<Ро"х >-§-<?¦ (10-28)
Смысл этого неравенства очевиден: произведение половины угла раствора
плоского диффузора на радиус и на максимальную скорость, имеющую место на
линии симметрии, конечно, будет превышать значение половины общего
расхода.
Далее, так как
ЧН > 0
и все слагаемые в квадратной скобке под знаком корня в (10.20)
положительны, то, отбрасывая в этой скобке слагаемые и2 и е2еъ, мы
уменьшим знаменатель под интегралом и, следовательно, увеличим всё
подинтегральное выражение, т. е. будем иметь:
л[J-(r)0< f /-__________-......-(10-29)
' 3v ' J V(.& + ei) и (е1-ч)
