Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
(6.3), получим для искомой компоненты скорости следующее выражение:
Заметим, что правая часть полученного решения (6.5) при уменьшении
значения радиуса внутреннего цилиндра b до нуля переходит в правую часть
решения (5.6) задачи о течении жидкости в круглой цилиндрической трубе.
Для рассмотрения другого предельного случая положим:
мов, входящее в правую часть (6.5), в ряд и ограничимся в этом
В результате получим приближённое выражение для скорости движения
жидкости в тонкой кольцевой трубе
Полученное выражение (6.6) представляет собой не что иное, как решение
задачи о прямолинейном движении вязкой жидкости между двумя параллельными
и неподвижными стенками, находящимися друг
при г = b и = 0, | при г = а и - 0. J
Общее решение уравнения (6.1) имеет вид
(6.2)
(6.3)
(6.4)
У h
ряде слагаемыми, содержащими у и у не выше второй степени.
и - -
(6.6)
132 ТОЧНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. IV
от друга на расстоянии h. Оно может быть получено и из (3.5) после
небольших преобразований.
Обращаясь к решению (6.5), получим для расхода через сечение кольцевой
трубы следующую формулу:
" = 2" 1 = <6'7) ь 1п ь
§ 7. Общая постановка задачи об установившемся круговом движении вязкой
несжимаемой жидкости
Жидкость будем считать несжимаемой, т. е.
р = const,
а её движение предполагать установившимся, т. е.
?=<>•
Кроме того, будем пренебрегать действием массовых сил
F=0.
При этих предположениях дифференциальные уравнения (6.6) и (6.7) главы II
движения вязкой жидкости в цилиндрических координатах будут иметь вид
dv v dv dv vf. 1 dp , " 2 dv
f . Oi T T V 4 . / . T CG
Vr!r
v \J V v t/" 1 \J и , u v и \
t "Р r | r Ip i/a r ф\
' r dy Vz dz r p dr \ Vr r2 r2 dy / '
dv" vvdv" dv^ vrv" 1 dp , v" 2 dvr\
+ dF"!-Г =~^+vV^+72^]'
^ dVz__________
' dr ' r dy ' Vz dz p dz
dvr vr 1 dvv dvs
dr ' r ' r dy ' dz
(7.1)
Рассмотрим теперь случай, когда траектории всех частиц представляют собой
дуги концентрических окружностей, т. е.
vr = 0, vz = 0. (7.2)
При этом предположении из последнего уравнения (7.1) - уравнения
несжимаемости - получим:
^г-°- (7-3)
Таким образом, скорость каждой частицы вдоль её траектории будет
оставаться неизменной; эта скорость может изменяться лишь при
УСТАНОВИВШЕЕСЯ КРУГОВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
133
переходе от одной частицы к другой, т. е. в зависимости от переменных
гиг.
Дифференциальные уравнения (7.1) при использовании тождеств
(7.2) и (7.3) принимают вид
v
V
Г
0:
0 :
1 др
' Р дг '
1 др г d<f
др dz '
(d^Vy
дг2
d2v, dz2
т ^?\
2 Г2}'
(7.4)
Заметим, что благодаря тождествам (7.2) и (7.3) квадратичные члены
инерции из основного уравнения, относящегося к искомой скорости v9,
совершенно выпали, и задача о круговом движении вязкой несжимаемой
жидкости стала линейной. Дифференцируя первое уравнение по г и учитывая
последнее уравнение, получим:
dv"
дг
(7.5)
т. е. круговое движение вязкой несжимаемой жидкости должно быть плоско-
параллельным. Во втором уравнении (7.4) слагаемое с давлением перенесём
налево и умножим обе части на г; левая часть зависит от ср, а правая
часть не должна зависеть от него, следовательно, обе части равны одной и
той же постоянной величине, т. е.
др d<f
С.
(7.6)
Равенство (7.6) означает, что перепад давления вдоль траектории
постоянен. Второе уравнение (7.4) для определения скорости vv при учетё
равенств (7.5) и (7.6) будет представляться в виде
С
<Pvy 1 dVy Vv
dr2 ' r dr r2
ixr
или
d
dr
/dv" , d r 1 d 1
\dr ~ dr [Г dr
(7.7)
(7.8)
Проводя последовательно два интегрирования уравнения (7.8), получим его
общее решение в виде
(7.9)
Для давления на основании равенства (7.6) и первого уравнения
(7.4) будем иметь:
"2
(7.10)
Г v\
р = Сер -j- р j -pdr~{-Cs.
134 ТОЧНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. IV
На основании формул (6.5) главы II касательное напряжение силы вязкости
для кругового движения представится в виде
Подставляя в правую часть (7.11) значение v9 из (7.9), получим:
Таким образом, для установившегося плоско-параллельного кругового
движения вязкой несжимаемой жидкости имеют место закономерности (7.9),
(7.10) и (7.12), содержащие четыре произвольные постоянные С, Сх, С.2 и
С3.
Применим полученные в предшествующем параграфе результаты к случаю
движения жидкости между двумя концентрическими цилиндрами (рис. 33).
Пусть внутренний цилиндр имеет радиус b и вращается с угловой скоростью
(Oj, а внешний имеет радиус а и вращается с угловой
Используя граничные условия (8.1) и равенство (8.2), получим уравнения
для определения постоянных Ct и С2
(7.11)
(7.12)
§ 8. Круговое движение между двумя вращающимися цилиндрами
скоростью о)2. Граничные условия прилипания частиц жидкости к стенкам
будут иметь вид
Обращаясь к формуле (7.10), мы видим, что
давление при изменении угла ср будет многозначной функцией. Для
устранения этой многозначности надо положить:
Рис. 33.
С = 0.
(8.2)
Cl6+^ = <v>,
Cja-Ь-у - (U2a>
