Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
направленного по нормали к сечению, т. е.
О-
JRR
dS--
: (9¦
¦PRR)dS - conSt .
(12.24)
t) Ландау Л. и Лифшиц Е., Механика сплошных сред, Гостехиз-дат, 1954.
а) Седов Л. И., Методы подобия и размерности в механике, Гостех-издат,
1951.
154 ТОЧНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. IV
На этом основании можно говорить, что решение (12.13) представляет собой
случай импульсного источника, т. е. такого течения, при котором поток
радиальной компоненты вектора импульса через все сечения элементарного
конуса с вершиной в начале координат остаётся постоянным.
Случай Ландау представляет собой простейший импульсный источник, при
котором единственная тангенциальная составляющая векторов импульсов
обращается в нуль. В самом деле, если мы возьмём выражение касательной
составляющей
/1 dvR dv" Vr, \
(12-25)
и подставим значения vR, v9 из (12.14), то получим:
Приравнивая квадратную скобку нулю, получим уравнение
f'f - v (1 - )/" - 2v/ = 0. (12.26)
После одного интегрирования получим дифференциальное уравнение вида
•^_N(l_X2)/'_2"/ = C(l. (12.27)
Сравнивай уравнение (12.27) с уравнением (12.18), мы видим, что левые
части тождественно совпадают, а правые части отличаются на слагаемые,
содержащие постоянные Cj и С3. Чтобы, наконец, перейти к решению (12.21),
надо ещё и постоянное С0 положить равным нулю. Единственное постоянное,
входящее в решение (12,21), можно определить, задавая, например,
постоянную потока импульса, входящую в правую часть (12.24).
ГЛАВА V
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА. МЕТОД СТОКСА
§ 1. Приближённые уравнения Стокса
Как уже указывалось в § 8 главы II, основное затруднение в решении
дифференциальных уравнений движения вязкой несжимаемой жидкости для
конкретных задач заключается в наличии в левых частях этих уравнений
квадратичных членов инерции. Эти квадратичные члены инерции тождественно
обращались в нуль, как это мы видели в первых параграфах предшествующей
главы, лишь только тогда, когда жидкость считалась несжимаемой, а
траектории частиц представляли собой либо параллельные прямые, либо
концентрические окружности. Последнее обстоятельство может служить
основанием к заключению о том, что для движений вязкой несжимаемой
жидкости, для которых траектории частиц будут мало отличаться либо от
параллельных прямых, либо от концентрических окружностей, квадратичные
члены инерции будут малы и ими с некоторым приближением можно пренебречь.
К такому же допущению можно подойти и с другой точки зрения.
В § 3 главы III были установлены дифференциальные уравнения вязкой
несжимаемой жидкости в безразмерных величинах. Первое из-этих уравнений
(3.2) с использованием обозначений характеристических чисел представится
в виде
+ ^ + - ER&+**, <*¦¦>
При квадратичных членах инерции в уравнении (1.1) находится множитель в
виде одного числа Рейнольдса. Следовательно, если число Рейнольдса
считать весьма малым, намного меньше единицы, то квадратичными членами
инерции в левых частях дифференциальных уравнений движения вязкой
несжимаемой жидкости можно пренебречь. Однако требование малости числа
Рейнольдса по сравнению с единицей является достаточным, но отнюдь не
необходимым требованием того, чтобы считать квадратичные члены инерции
малыми величинами. Квадратичные члены инерции могут быть малыми
1сШ ДВИЖЕНИЕ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА. МЕТОД СТОКСА [ГЛ. V
и в том случае, когда число Рейнольдса и немало, но траектории частиц
близки к параллельным прямым или концентрическим окружностям. Для
сохранения в уравнении (1.1) остальных слагаемых, содержащих множителем
также число Рейнольдса, надо, очевидно, предположить, что по порядку
величин имеют место неравенства
SR > 1,
?>'¦
ER > 1,
(1.2)
Обратим внимание на последнее неравенство (1.2). Так как Е представляет
собой отношение давления к произведению плотности на
квадрат характерной скорости, а число R = .
венства получим для давления:
ро>Р
Vo.
Lo
то из этого нера-
(1.3)
Неравенство (1.3) означает, что при отбрасывании в уравнениях движения
квадратичных членов инерции давление будет находиться в прямой
зависимости от коэффициента вязкости и характерной скорости в первой
степени.
Впервые уравнения движения вязкой жидкости с отброшенными квадратичными
членами инерции были широко использованы Стоксом. На этом основании эти
уравнения и получили название приближённых уравнений Стокса. В
прямолинейных осях координат приближённые уравнения Стокса для движения
вязкой несжимаемой жидкости представляются в виде
ди г-
1H=F
dv
dt
dw
dt
p dy 1
4^ -f- ')\w,
dz 1
(1.4)
du | dv . dw dy ' dz
dx
dz
0.
Дифференцируя первое уравнение по х, второе по у, третье по z, складывая
результаты И используя уравнение несжимаемости, получим дифференциальное
уравнение для давления
dFaj dFs ,
(1-5)
. fdFx
= Pbr
ду
дг
В тех случаях, когда можно либо пренебречь действием массовых сил, либо
считать их постоянными, давление будет представлять
