Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Слёзкин Н.А. -> "Динамика вязкой несжимаемой жидкости" -> 57

Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.

Слёзкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости — М.: Технико-теоретической литературы, 1955. — 520 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamikavyazkoynesjimaemoyjidkosti1955.pdf
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 170 >> Следующая

§ 2] ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ 157
(1.6)
собой гармоническую функцию, т. е.
Др = 0.
При отсутствии массовых сил
Рх = о.
Fy = 0, Fz = 0
с помощью перекрёстного дифференцирования уравнений (1.4) получим
следующие дифференциальные уравнения для компонент вектора-вихря:
dt
dt
dt
V A<V
v A<o2.
(1.7)
Дифференциальные уравнения (1.7) совпадают по своей форме с
дифференциальным уравнением процессов свободной теплопроводности и
свободной диффузии. Следовательно, при отбрасывании квадратичных членов
инерции вектор-вихрь будет распространяться по законам свободной
диффузии.
§ 2. Плоско-параллельное установившееся движение вязкой жидкости
Считая вязкую жидкость несжимаемой
о = const,
движение установившимся
и плоско-параллельным
dV
dt
= 0
к du n dv п w = 0, -5-== 0, :г-=0 dz dz
и пренебрегая действием массовых сил
F = 0
и квадратными членами инерции по Стоксу, получим из (1.4) следующие
уравнения:
dp dx
д±
ду
и Д и,
и Дг;,
du , dv dx'dy
0.
(2.1)
158 ДВИЖЕНИЕ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА. МЕТОД СТОКСА [ГЛ. V
Введём функцию тока, полагая
di/ db
11 - -7Г , v = -зг-.
ду дх
Тогда величина вихря со представится в виде
Первые два уравнения (2.1) примут следующий вид:
т, = - h(1*= - г* <- 2!">-
Уравнения (2.2) представляют собой соотношения Коши - Римана,
следовательно, давление р и произведение вязкости на удвоенное значение
вихря с обратным знаком представляет собой действительную и [мнимую часть
некоторой функции / комплексного переменного z, т. е.
Х-\-1у = Z,
р - 2/р.со =/ (z). (2.3)
Исключая из равенства (2.2) давление, получим для функции тока
бигармоническое уравнение
Д Д4 = 0. (2.4)
Таким образом, задача изучения плоско-параллельного установившегося
движения вязкой несжимаемой жидкости при отбрасывании квадратичных членов
инерции приводится к решению бигар-монического уравнения (2.4) для
функции тока.
Известно1), что всякую бигармоническую функцию от двух переменных х и у
можно представить при помощи двух функций комплексного переменного г в
виде
Ц - z Ф(z)Н- гФ (z) + у (z) + y(z), (2.5)
где черта сверху над независимым переменным z и функциями Ф и у означает
сопряжение, т. е. в первом случае замену i через -i в выражении самого
переменного z, а во втором случае в коэффициентах отдельных слагаемых
этих функций. Дифференцируя левые и правые части по х ну, получим:
2 дх - Ф ^ + гф' & + '/¦ ^ + '/¦ ^ = ~ 2v>
2 ^ = I [- Ф(z) + z$(z) + Ф (z) - гФ' (г) + у/ (г)] = 2и.
П) Мусхелишвили Н. И., Некоторые основные задачи математической теории
упругости, изд. АН СССР, 1945.
§ 2] ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ 159
Умножая первое равенство на -I и складывая со вторым, получим следующее
выражение для скорости в комплексной форме:
и -|- lv = -г [Ф (z) + гФ',0) + у/ (г)]. (2.6)
Для вторых производных от функции тока будем иметь:
2 ш =2Ф'(2)+(2)+2ф/ &+z3"(z)+У- (2)+ >? & -2 w = ~[_ 2Ф'{2)+2ф" (z) +
z(r)"(J) +iz)+У-* (J)] •
Складывая эти выражения, получим для вихря со следующее равенство:
2со - - - - 2 [Ф' (z) -4- Ф' (F)]. (2.7)
На основании (2.3) давление р представляет собой гармоническую функцию,
сопряжённую с гармонической функцией -2jxcd, поэтому
р = 2\ii [Ф'(г) - Ф' (г)] -\-р0, (2.8)
где р0 - постоянная величина. При этом будем иметь:
/7 - 2г>со=/(.г) = 4[х;Ф'(.г) + /70. (2.9)
В § 4 главы III были установлены формулы для результирующего воздействия
вязкой несжимаемой жидкости на поступательно движущееся в ней тело.
Проекции главного вектора результирующего воздействия на плоский контур
при его поступательном движении будут представляться в виде
л)*'
т
Rv= J +
(2.10)
I ds,
° J \ ' 1 ' оп/
Y
где
, dy dx
I - -, т - - л-
ds ds
- направляющие косинусы нормали, внешней к контуру f. Умножая второе
равенство (2.10) на I, складывая с первым и заменяя I и т их выражениями,
получим:
[ ip(dx + г^У) + Н- (M + i(r))ds]- (2-11)
160 ДВИЖЕНИЕ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА. МЕТОД СТОКСА [ГЛ. V Так как
д / ^ \ д 1 / \ д d уд dx д
^ = cos (n>x)^+cos(n^)^ = ^^-^.g7l
~ (и + iv) = - / [Ф' (z) + Ф' (z) + zi>" (z) + у" (z)],
(" + tv) - Ф' (Z) + Ф' (г) - гФ" (г)-у" (г), то для слагаемых, входящих
под знак интеграла (2.11), получим:
~ (и + w) ds - dy ~ (и + ш) - dx ^ (и + гтО =
= - Ф'(z)dz - Ф' (z) dz -(- гФ" (z) dz -f- у'"' (z) dz, ip dz = - 2иФ'
(z) dz ¦+- 2аф/ (z) dz + ip0 dz, ip dz ¦+- а ~п (и ¦+- iv) ds = ip0 dz +
\ul [- ЗФ (z) + гФ' (z) + у/ {z)\ =
= ip0 dz-\-\id[- 4Ф (z) + i {a + iv)].
Таким образом, вектор результирующего воздействия в комплексной форме на
плоский контур представится в виде
Rx + iRy = iPo J* dz - 4p J d [Ф (z)] + ji/J* d(u-\-iv): (2.12)
1 T V
Если контур f будет замкнутым, то первое слагаемое, содержащее интеграл
от dz, обратится в нуль. Так как проекции скорости должны представлять
собой однозначные функции, то и последнее слагаемое также должно
обратиться в нуль. Следовательно, при поступательном движении плоского
замкнутого контура в вязкой несжимаемой жидкости при условии прилипания
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 170 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed