Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Слёзкин Н.А. -> "Динамика вязкой несжимаемой жидкости" -> 51

Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.

Слёзкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости — М.: Технико-теоретической литературы, 1955. — 520 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamikavyazkoynesjimaemoyjidkosti1955.pdf
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 170 >> Следующая

дующее выражение:
Q = J v9 dr = In в-1)--?(1п6-1)]+-1
b
Из условия прилипания имеем:
Ca(lna-|) + C1a + -^ = 0; Ь (in Ь - I) + С
откуда
Ci
a2 In а - b2 In Ь
С^а2-Ь2) + С2 Inf
(9.1)
(9.2)
2(л\ 2
При подстановке значений щий вид:
_____________________
), С2 -
с_

a2b2 In -
(9.3)
cfi-b2 J' "а 2ц а2 - Ь2 (9.3) формула (9.1) для расхода примет следую-
4аЧ2
Ь2
cfi - b2
"п
(9.4)
!) Жуковский Н. Е., О гидродинамической теории трения хорошо смазанных
тел, Собрание сочинений, т. III, 1949.
138 ТОЧНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. IV
Входящее в это выражение постоянное С представляет собой согласно (7.6)
перепад давления, приходящийся на один радиан угла ср. Для случая
прямолинейного движения вязкой жидкости между двумя неподвижными и
параллельными стенками, отстоящими друг от друга на расстоянии ft, из
(3.8) можно получить следующую формулу для расхода:
Q = -
1
¦щг
дРд
дх
№.
(9.5)
Полученное выражение (9.4) можно рассматривать как обобщение формулы
(9.5) на случай искривлённых по дугам окружностей стенок. Правую
часть формулы (9.5) можно получить из правой части (9.4), если положить:
дРд t
С =
дх
а затем провести разложение по степеням ft
отношения , сохранив члены не выше
третьей степени.
Давление, определяемое по формуле
(7.10), будет зависеть и от переменного г.
Рис. 36. Но если предполагать скорость сравни-
тельно малой, а радиус внутренней дуги Ь сравнительно большим, то
слагаемым, содержащим интеграл от квадрата скорости, можно будет
пренебречь и считать приближённо давление неизменным по толщине слоя.
Полученное выше решение может быть использовано для рассмотрения течения
в канале, границы которого составлены частично из прямолинейных стенок, а
частично из дуговых стенок. Например, канал, представленный на рис. 36,
состоит из прямолинейного участка АВ, дугового участка BD и
прямолинейного горизонтального участка DC. Давления у входа А и выхода из
канала С считаются известными. Тогда, используя (9.4) и (9.5), получим
следующие формулы для разностей давлений в точках перехода от
прямолинейных участков к криволинейным, при одном и том же расходе:
12р./, Q
Pi - Рг - '

8 xQ-
Рг - Рз '¦
Рз Pi -
а 2 - ft2 -
12 р/2 Q № '
4a2ft2 / a \2
- ft2 \ b )
a2
(9.6)
Складывая левые и правые части равенств (9.6), получим окончательную
формулу' для расхода в рассматриваемом нами случае составного канала
Pi-Pi________________________J_____________________
f------------------------------------------(9-7)
Q =
12/,
ft2
" 4a2ft2 /, a \2
й2-бг" э*дг*г(1пт)
ft2
§ 10] ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ РАДИАЛЬНОЕ ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 139
Полученная формула для расхода является приближённой, так как при
написании (9.6) не учитывалось изменение давления на криволинейном
участке по радиусу.
§ 10. Плоско-параллельное радиальное течение вязкой жидкости
Предположим, что траектории всех частиц вязкой и несжимаемой жидкости при
её установившемся движении представляют собой прямые линии, расходящиеся
от оси z, т. е.
v,f = 0, цг = 0. (10.1)
При этом предположении дифференциальные уравнения (7.1) в цилиндрических
координатах принимают вид
dv.
\ дг2
1 др
Jd 1 dvr
дг р дг
1 d2vr
d2vr
дг2 ' г дг О = - ~~
<7<Р
др
4-
Га (?<f2
2р dvr
г д<р '
dz3
гЗ
0 =
г дг
(rvr):
dz
0.
(10.2)
На основании последнего уравнения (10.2) мы заключаем, чго произведение
радиальной скорости vr на радиус г не будет зависеть от г. Положим:
rv,. = ti. (10.3)
Будем предполагать движение плоско-параллельным, т. е.
0.
dvr
dz
(10.4)
После интегрирования по ср второго уравнения (10.2) получим:
P = 2j^+f(r).
(10.5)
Подставляя значения vr из (10.3) и р из (10.5) в первое уравнение (10.2),
получим:
d2 и
1
df г
dr
(10.6)
Так как левая часть (10.6) не зависит от г, а правая часть зависит только
от г, то обе части должны быть равны одной и той же
140 ТОЧНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. IV
постоянной величине, т. е.
- ?-=а-р dr
Отсюда находим выражение для функции /:
J 2 г2 ^
Таким образом, давление в рассматриваемом радиальном течении будет
представляться в виде 2ixu(v) Ао
p = ^fP-^+B. (10.7)
Дифференциальное уравнение для функции и будет иметь вид
v^ + 4v" + "2 = A (10-8) Умножим обе части этого уравнения на и
проинтегрируем; получим:
|(Ц)а + 2.""+1"* = ^ + С"
ИЛИ
;цу=-ж- "'-4г"о, (Ю.9)
где Д(и) представляет собой многочлен третьей степени
/?(и) = и5 + 6ад9 -ЗЛи + С. (10.10)
Извлекая квадратный корень из левой и правой части (10.9) и разделяя
переменные, получим формальное решение уравнения в виде эллиптического
интеграла
ф= f т=== + г>. (10.11)
Решение (10.11) будет содержать три произвольных постоянных А, Си D, для
определения которых необходимо задать граничные условия.
Рассмотрим теперь конкретный случай радиального течения между плоскими
сходящимися неподвижными стенками (рис. 37). Обозначий половину угла
раствора через ср0. В силу условия прилипания:
при ср = ±ср0 и = 0. (10.12)
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 170 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed