Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
(10.11) не будут изменяться при замене одной системы координат через
другую с помощью поворота. Первый из этих инвариантов представляет собой
сумму нормальных напряжений. Одна треть от этой суммы называется средним
нормальным напряжением в точке.
Если мы за оси координат возьмём направления, совпадающие с направлениями
главных осей напряжений в рассматриваемой точке, то инварианты напряжений
будут представляться в виде
Pi - Pi -\-P2~\~P3'
Р2 = - Pi Р2 - Р2Р3 - Р3Р1 ' p-i = PiPaP-i-
I
(10.13)
Применяя формулу (10.2) к тому случаю, когда за оси координат выбраны
направления главных осей напряжений, получим:
к = Ъ
Рп - 2 Pkhh-
к = 1
(10.14)
Возьмём теперь вторую площадку, проходящую через ту же точку и имеющую
нормаль п' с направляющими косинусами (Рис- 15),
§ 10]
ГЛАВНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
57
Проектируя вектор напряжения рп на направление нормали п' ко второй
площадке, получим:
S PlMk-
к = 1
(10.15)
Если же взять вектор напряжения рп< на второй площадке с нормалью п' и
спроектировать его на направление нормали п к первой площадке, то получим
то же выражение (10.15) в правой части. Таким образом, получаем теорему
Коши о взаимности напряжений на двух площадках, наклонённых друг к другу
под произвольным углом
Рпп' - Рп'п- (10.16)
Применяя это равенство к трём взаимно перпендикулярным площадкам, нормали
к которым совпадают с направлениями произвольных осей координат, получим
следующие соотношения взаимности или сопряжённости касательных
напряжений'.
Рис. 15.
Pia = Pai- Ры=Р"1' Р-а=Рп-
(10.17)
Возьмём элементарную площадку, нормаль к которой v совпадает с
направлением биссектрисы угла между двумя главными направлениями
напряжений, т. е. имеет следующие направляющие косинусы:
/8 = 0.
Вектор напряжения на этой площадке на основании (10.14) будет
представляться в виде
р,=Щ- (м+М)-
(10.18)
Проектируя этот вектор на нормаль v, получим нормальное напряжение
P^ = ^(:Pi + Pj- (10.19)
Касательное же напряжение на этой площадке будет равно
Р-п = V A - pi = 4- (Pi - Ря)-
(10.20)
Таким образом, разность двух главных нормальных напряжений равна,
удвоенному касательному напряжению на той площадке, нормаль к которой
является биссектрисой угла между рассматриваемыми главными осями
напряжений. Касательные напряжения на площадках, нормалями к которым
служат биссектрисы углов между направлениями
58 СКОРОСТИ ДЕФОРМАЦИЙ ЧАСТИЦЫ. КОМПОНЕНТЫ НАПРЯЖЕНИЙ [гл. I
главных осей напряжений, называются главными касательными напряжениями.
Таким образом, для главных касательных напряжений будем иметь:
где (1'), (2') и (3') обозначают направления указанных биссектрис. Так
как из трёх главных нормальных напряжений одно будет иметь наименьшее
значение, а другое - наибольшее значение, то разность этих двух будет
представлять максимальное значение касательного напряжения в
рассматриваемой точке. Иначе говоря, из трёх главных касательных
напряжений одно будет представлять максимальное касательное напряжение.
Девиатором напряжений называется тензор, составленный из тензора
напряжений с помощью вычитания из диагональных его членов величины
среднего нормального напряжения
Первый линейный инвариант девиатора напряжений будет равен нулю. Это
обстоятельство будет означать, что девиатор напряжений своим действием не
может изменить объём, а может изменить лишь внешнюю форму объёма,
занимаемого частицами. Второй квадратичный инвариант девиатора напряжений
будет представляться в виде
6 Р'% = (Рп - рп f + (р.,3 - Pssf + {рп - Pt, f +
_h б {р\., -(- /?23 -f- P3i)' (10.23)
Найдём результирующее касательное напряжение, т. е. то касательное
напряжение, которое имеет место на площадке, нормаль к которой ч
составляет равные углы со всеми главными осями напряжений. Это
результирующее касательное напряжение называется также интенсивностью
касательных напряжений. Направляющие косинусы нормали к рассматриваемой
площадке будут равны
На основании (10.1) проекции вектора напряжения на этой площадке будут
представляться в виде
2pvi'=Ih- Р* ) 2/>3'з' =Р-2- Р-м \
2pvv=pz - pv )
(10.21)
Pie
(Dp)=< P-а Р-ш-^Pi Р-a
(10.22)
Pi i
Рзч
Pni~-jpi
1k уг
P-а = ~т=
yv
P-з
(10.24)
§ 11]
ОБОБЩЁННАЯ ГИПОТЕЗА НЬЮТОНА
59
Следовательно, модуль вектора напряжения будет равен
p->=V +^>- (1о-25)
Умножай левые и правые части (10.24) на направляющие косинусы нормали,
т. е. на -- , и складывая, получим величину нормального напряжения на у 3
рассматриваемой площадке в виде
р-п = (Л + Рг т Рз)- (10.26)
В таком случае касательное напряжение на этой площадке, вычисляемое по
формуле (10.4), будет равно
. />,_ = VР\- Р\> = j V (Рх- P-if + iP-i- Pzf+iP-s- Pi)2- (Ю.27)
С другой стороны, второй инвариант девиатора напряжений (10.2-3) будет
представляться через главные напряжения следующим образом:
6/>2 = (Pi - Рч ? + (Рч~ Рз f + (Рз - Pi )2- (1 °-28)
Следовательно, интенсивность касательных напряжений и второй инвариант
девиатора напряжений будут связаны следующей зависимостью:
