Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Слёзкин Н.А. -> "Динамика вязкой несжимаемой жидкости" -> 23

Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.

Слёзкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости — М.: Технико-теоретической литературы, 1955. — 520 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamikavyazkoynesjimaemoyjidkosti1955.pdf
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 170 >> Следующая

&=1
Таким образом, вектор напряжения на площадке с произвольным направлением
нормали полностью определяется тремя векторами напряжений на трёх взаимно
перпендикулярных площадках, проходящих через точку, через которую
проходит и данная площадка. Следовательно, эти три вектора рх, р2 и р3
полностью характеризуют напряжённое состояние в точке. На этом основании
эти три вектора, представленные также таблицей (9.1), называются тензором
напряжений.
Заметим, что равенство (9.5) после умножения на Дз и замены
произведения Дз1к через ДзЛ и рк через р__к представится в виде
к = з
/>"Дз-f- ^jP__k&3k = 0. (9-6)
fc=i
Это соотношение означает, что для самих сил напряжений, распределённых по
сторонам элементарного тетраэдра, выполняется векторное уравнение
равновесия. Таким образом, равенство (9.5) можно рассматривать как
следствие того положения, что силы напряжений, распределённых по граням
элементарного тетраэдра, образуют систему взаимно уравновешенных сил.
54 СКОРОСТИ ДЕФОРМАЦИЙ ЧАСТИЦЫ. КОМПОНЕНТЫ НАПРЯЖЕНИЙ [ГЛ. I
§ 10. Главные напряжения
Рассмотрим элементарную площадку с нормалью п (рис. 13). Вектор
напряжения на этой площадке будет представляться в виде
к = з
Рп - 2аА-
Л = 1
Обе части этого равенства спроектируем на ось хт, тогда получим следующие
выражения для проекций вектора напряжения рп на оси координат:
к = з
Рпт - 2 PknJk
к = 1
(Ш = 1, 2, 3).
(10.1)
Умножая левую и правую части на единичный вектор im и складывая, получим
вектор напряжения на площадке с нормалью п в виде
т - 3 к = 3
Рп- Pkmtki-r
т = 1 к = 1
(10.2)
Чтобы найти проекцию вектора напряжения рп на нормаль п, необходимо
каждую проекцию его рпт умножить на косинус угла нормали 1т с осью хт и
сложить. Следовательно, нормальное напряжение на площадке с нормалью п
будет представляться в виде
м = 3 т.к = '-1
Рпп =' 2 ^4PkuJlJu
}>ь - 1 ш - 1 к = 1
(10.3)
Касательное же напряжение на этой площадке будет определяться равенством
Рп--
Рп Рпп¦
(10.4)
Отложим теперь вдоль нормали п отрезок ОК, относительные координаты конца
которого обозначим через tk. Тогда будем иметь:
Е* = OKlk.
Определяя отсюда lk и подставляя в правую часть (10.3), получим:
(OKfPr,
т = з к = 3
2 ^ElPkmfck^nr
т = 1 к = 1
Выберем длину отрезка ОК так, чтобы
{О К? Рпп = !•
(10.5)
(10.6)
ГЛАВНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
55
Тогда уравнение геометрического места концов отрезка, квадрат длины
которого обратно пропорционален величине нормального напряжения на
площадке с нормалью, совпадающей с направлением самого отрезка, будет
представляться в виде
= з к~з
2^2 (10.7)
т-1 к-1
Полученная поверхность второго порядка называется поверхностью напряжений
в рассматриваемой точке.
Направляющие косинусы нормали к поверхности напряжений будут
пропорциональны частным производным левой части (10.7) по координатам,
которые будут представляться в виде
дР
к-3
1
k - t
Направляющие косинусы вектора напряжения рп будут в свою очередь
пропорциональны проекциям этого вектора, представленным в виде (10.1).
Сравнивая правые pHCi 14
части (10.1) и (10.8), заключаем,
что вектор напряжения на площадке с нормалью п будет параллелен
направлению нормали к поверхности напряжений в той точке, где нормаль п
пересекает поверхность напряжений (рис. 14).
Главные оси поверхности напряжений называются главными осями напряжений в
рассматриваемой точке. Для площадок, перпендикулярных к главным осям
напряжений, вектор напряжений будет направлен строго по нормали к этим
площадкам. Таким образом, на главных площадках развиваются только одни
нормальные напряжения, которые называются главными нормальными
напряжениями в точке. Касательные напряжения на главных площадках
обращаются в нуль.
На основании соотношения (10.6) заключаем, что экстремальные значения
нормальных напряжений будут находиться среди трех главных нормальных
напряжений.
Обозначая главное напряжение через р." будем иметь для его проекций
следующие выражения:
Р>т - P-Jni'
Подставляя эти выражения в левую часть (10.1) вместо рпт и развёртывая
сумму, получим следующую однородную систему уравне-
(Ри - Pi) к Н- P1J2 Н- Р\4ъ - )
P2ik ~i~ (/^22 - РдккРык - O' (¦ (10.9)
Psik + P-i2^2 + (Paз - P-i) 7a - 0• ^
56 СКОРОСТИ ДЕФОРМАЦИЙ ЧАСТИЦЫ. КОМПОНЕНТЫ НАПРЯЖЕНИЙ [ГЛ. I
Так как направляющие косинусы 1г, /2, /3 отличны от нуля, то определитель
этой системы должен обращаться в нуль, т. е.
Р11 Pi Pl2 Р13
Р-21 Р'22 Р) Pq 3
Аи Р-Л2 Рт Рч
= 0.
(10.10)
Уравнением (10.10) определяются значения pv р2 и ръ трёх главных
напряжений в рассматриваемой точке. Раскрывая определитель в левой части
(10.10), получим следующее кубическое уравнение:
- а + /\а + р2а, + ^ = о,
где коэффициенты Рг, Р2 и Р3 представляются в виде
л=з
Pi - %Ркк> к = 1
(10.11)
Р'2 = -PllP22 Р22РЖ ' Рп P12 Pia
Р21 Р22 Р23
Р31 Р-32 Ра з
' РйзРп~\~ Pl2P21~\~ Р2зРа2~\~ PilPlS'
р* =
(10.12)
Полученные выражения Pv Р2 и Р3 называются инвариантами тензора
напряжений на том основании, что коэффициенты уравнения
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 170 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed