Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
перемещения, обусловленного деформацией частицы, будет направлен
параллельно нормали к поверхности деформаций в точке пересечения этой
поверхности с продолжением отрезка ОМ (рис. 6).
Оси, для точек которых векторы скоростей перемещений, обусловленных
деформацией частицы, будут направлены в точности по самим отрезкам ОМ,
называются главными осями деформаций в точке О. Обозначая скорость
деформации относительного удлинедия
44 СКОРОСТИ ДЕФОРМАЦИЙ ЧАСТИЦЫ. КОМПОНЕНТЫ НАПРЯЖЕНИЙ [гл. I
отрезка, направленного по главной оси, через е, для скорости абсолютного
удлинения и её проекций из (5.6) и (5.7) будем иметь:
(Уош) ясф - sSs,
Ьхк
т~ 1.
Перенося в одну сторону и раскрывая сумму, получим:
(sii-s) -j- si2 Sa:.2 s13 8лса = 0,
S21 ^1 4" (s22 s) ^2 4" S2U S*3 =
S31 ^1 + S32 'jX'2 + (s33 S) CX3 = Q'
Так как все oxk не равны нулю, то определитель системы должен обращаться
в нуль, т. е.
(7.5)
-11
12
'21
•22 '
с13
23
= 0.
(7.6)
31 32 *33
Из этого уравнения мы получим три значения г; st, г.2 и г3. Эти скорости
деформаций относительных удлинений отрезков, направленных в точке О по
главным осям деформации, называются главными скоростями удлинений в точке
О. Главные оси деформаций ортогональны между собой. Та,к как в результате
деформации частицы точки на главных осях смещаются только вдоль самих
осей, то скорости деформаций сдвига по отношению к этим осям будут
обращаться в нуль, т. е. взаимно ортогональные направления главных осей
деформации не будут испытывать скошений прямого угла между ними.
На основании соотношения (7.2) и свойств центральной поверхности второго
порядка можно заключить, что минимальное и максимальное значения
скоростей относительных удлинений отрезков будут находиться среди главных
скоростей удлинений.
Развёртывая определитель в левой части (7.6) по степеням г, получим:
_e8 + EiS2 + E2S + E3 = 0,
где Ev Еа и Е3 представляются в виде *=з
= 2 sfcfc>
*=i
(7.7)
- " -sn S22~ S22S CO CO
еи S12 S13
sai s22 (0 to OS •
(r)31 (r)32 S33
ieii + ei2 + S23 + ?31>
(7.8)
§ п
ГЛАВНЫЕ СКОРОСТИ УДЛИНЕНИЙ
45
Так как корни уравнения (7.7), определяйщёго значения главных скоростей
деформаций относительных удлинений, не должны меняться с изменением осей
координат с началом в точке О, то и коэффициенты этого уравнения Ev Е2 и
Еъ не должны меняться с поворотом осей координат. Эти коэффициенты,
представленные через составляющие тензора скоростей деформаций
соотношениями (7.8), называются инвариантами тензора скоростей
деформации. Первый из этих инвариантов представляет собой скорость
относительной объёмной деформации частицы.
Если из диагональных компонент тензора скоростей деформации (6.7) вычесть
одну треть от скорости объёмной деформации, то получим девиатор скоростей
деформации
Второй инвариант этого нового тензора, составленный аналогично тому, как
был составлен Я3, после алгебраических преобразований будет
представляться в виде
Найдём скорость деформации результирующего сдвига по площадке нормаль к
которой наклонена к главным осям деформации под одним и тем же углом, т.
е. имеет направляющие косинусы, равные
Подставляя в формулы (5.6) и (5.7)
Проекцию на нормаль скорости перемещения, обусловленного деформацией, мы
получим, если правые части умножим на /, т и п и сложим:
Е11 - з" 0 (r)12
Ф.) =
Е22 - "з (r) ?23
е32 Е88 "з" (r)
(7.9)
получим:
4б СКОРОСТИ ДЕФОРМАЦИЙ частицы, компоненты напряжений [гл. I
Тогда проекция этой скорости на перпендикуляр к нормали будет
представляться в виде
(vi ОМ )деф = У(vOM )деФ ОДГ ) деф= (е1+е2+ез )~ "д (е1+е2+ез У
•
Разделив эту скорость на отрезок os, получим скорость деформации
результирующего сдвига tr в виде
^ Y (Ч - ч)2 + (Ч ~ ч)2 + (ч - Ч)2 • (7.11)
Если за оси координат мы возьмём главные оси деформаций, то
второй
инвариант девиатора сК°Р0Стей деформации будет представляться в виде
Е'2 = J [(ег - Ч)2 + (Н - ч)2 + (ч - ег)2]- (7-12)
Таким образом, второй инвариант девиатора скоростей деформации
пропор-
ционален квадрату скорости деформации результирующего сдвига частицы, т.
е.
с' 3 2
E2 = Y<- (?ЛЗ)
Скорость деформации результирующего сдвига называется также
интенсивностью скоростей деформации сдвига частицы.
Если воспользоваться главными скоростями деформаций, то формула
(5.10), определяющая скорость смещения точки М за счёт
деформации частицы, представится в виде
т = з
(Vom) еф 2 (7.14)
т = 1
Возьмём теперь отрезок ОМ, наклонённый к осям главных скоростей
деформаций (1), (2) П°Д углом в 45°, т. е. имеющий следующие направляющие
косинусы:
. bJCi_V2 , _ V2 . _п
Ч - ТГ- 2 ' '2- - 2 ' la-v-
При этих значениях направляющих косинусов из (7.14) будем иметь:
1f 2
(Уош)деф - ~2~05(si*1 -f- s-cJz). (7-15)
Проектируя этот веКТ0Р скорости на направление самого отрезка, получим
скорость абсолютного удлинения в виде
(Уп ом)деф = ~2 (S1 + s2)'
В таком случае скорость смещения точки М за счёт скошения угла,
т. е. за счёт дефорМац.ии сдвига, будет представляться в виде
