Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
(10.29)
§ 11. Обобщённая гипотеза Ньютона
Если рассматривать силу вязкости как касательное напряжение, а
производную от скорости движения частицы по нормали к направлению
скорости как удвоенную скорость деформации, сдвига, то гипотеза Ньютона о
силе вязкости жидкости будет сводиться к тому заключению, что касательное
напряжение пропорционально скорости деформации сдвига. Такое заключение
было сделано в § 4 для случая прямолинейно-параллельного движения
жидкости.
Первое обобщение гипотезы Ньютона мы получим, если распространим это
заключение и на общий случай движения жидкости, полагая, что каждая
компонента касательного напряжения пропорциональна соответственной
скорости деформации сдвига, т. е.
Pi 2 = Vl2> )
/*28 = 211028' | (1Ы)
p-ii = 2\>-4v > где р. - коэффициент вязкости.
Далее примем, что главные оси деформаций совпадают с главными осями
напряжений в каждой точке области, занятой
60 СКОРОСТИ ДЕФОРМАЦИЙ ЧАСТИЦЫ. КОМПОНЕНТЫ НАПРЯЖЕНИЙ [ГЛ. I
жидкостью. Жидкость, для которой это положение будет справедливым,
называется изотропной. В изотропной жидкости нет каких-либо
исключительных направлений по отношению к деформациям и напряжениям.
Выберем за оси координат три направления главных осей деформаций и
главных осей напряжений и применим формулы (11.1) к главным касательным
напряжениям (§ 10) и главным скоростям деформации сдвига (§ 7):
Pr-i' - 2рега',
Pi'i' - 2ps2-3",
рм = 2pswr.
Заменяя главные касательные напряжения через главные нормальные
напряжения по формулам (10.21) и главные скорости деформации сдвига через
главные скорости удлинений по формулам (7.8), получим:
Pl=?* to-Р". Ps-Pl. = 2а, (11.2)
е1 -е2 е2 - е3 е3 е1 Г
Таким образом, для изотропной жидкости отношения разностей главных
нормальных напряжений к разностям соответственных главных скоростей
удлинений равны между собой и равны удвоенному значению коэффициента
вязкости.
Из соотношения (11.2) можно определить разности компонент
главных нормальных напряжений, но не каждую компоненту нормальi
ного напряжения в отдельности. Следовательно, первого обобщения гипотезы
Ньютона, представленного соотношениями (11.1), ещё недостаточно для
установления связи между состоянием напряжений и состоянием скоростей
деформаций в каждой точке области, занятой жидкостью.
Из трёх соотношений (11.2) независимыми являются только два.
Следовательно, для определения трёх компонент pv р2 и рй недостаёт лишь
одного соотношения, связывающего нормальные главные напряжения с главными
скоростями удлинений. Такое дополнительное соотношение мы получим, если в
качестве второго обобщения гипотезы Ньютона примем, что среднее
нормальное напряжение в каждой точке состоит из давления, непосредственно
не зависящего от скоростей деформаций, и дополнительного напряжения,
пропорционального скорости объёмной деформации,_т. е.
\(Р1+Ръ+Рв)=*~Р + ^, (11.3)
где У - второй коэффициент вязкости. Первый коэффициент вязкости был
непосредственно связан со скоростью деформации сдвига, второй же
коэффициент вязкости связан со скоростью объёмной деформации частицы.
ОБОБЩЕННАЯ ГИПОТЕЗА НЬЮТОНА
61
Решая совместно соотношения (11.2) и (11.3), получим следующие равенства
для главных нормальных напряжений:
Pi - - Р + 2h-si + - -j-j О,
Р-2 = -Р~\~ 2й-(r)-2 + jf'j fJ> Рз = -Р + 2^ + (^~ у) 0-
(11.4)
Таким образом, главные нормальные напряжения составляются из давления, из
напряжения, пропорционального соответственной главной скорости удлинения,
а напряжения, пропорционального скорости объёмной деформации.
Соотношения (11.4) могут быть получены и иным путём, а именно: вначале
принимаем, что главные оси напряжений совпадают с осями главных скоростей
деформаций. Затем полагаем, что алгебраические разности между главными
нормальными напряжениями и давлением будут линейными функциями главных
скоростей удлинений, т. е.
Pi --Р-\~а isi+fl-2s2+ай?з- 01-5)
Покажем, что из трёх коэффициентов av а2 и а,; независимыми будут
только два. Для этого перейдём к новым осям координат х[, х[" х\,
получаемых из первых с помощью поворота вокруг оси х1 (рис. 16) на угол в
90°. По отношению к этим осям (11.5) представится в виде
Хз
х2
Хз ?г
X,
Рис. 16.
Но вследствие будем иметь:
Pi - - p-~h ai?i a2S2 "Ь asss-
Г Г Г
Xi = Xv Хо- Х.д, ЛГц = -х.2
(П.6)
dv,
dv,
62 СКОРОСТИ ДЕФОРМАЦИЙ ЧАСТИЦЫ. КОМПОНЕНТЫ НАПРЯЖЕНИЙ [ГЛ. I
Следовательно, равенство (11.6) примет вид
Pi =- Р + ал + ед + ай- О1-7)
Приравнивая правые части (11.5) и (11.7), получим:
ач = аз-
13 таком случае (11.5) представится в виде
Р\ - -Р Ч~ (a.L - аг) sl Н- aa(si ~Ь Н Ч~ гя)- (11 - 8)
Обозначая
ai- а2 - 2^, я2 = X,
из (11.8) получим:
Pl = -/? + 2[isl + a0. (11.9)
Правая часть (11.9) будет совпадать с правой частью первого соотношения
(11.4), если положить:
/, = // -I а. (11.10)
Уравнения (11.4) связывают главные нормальные напряжения
с главными скоростями удлинений. Чтобы получить соответственные
соотношения для нормальных напряжений по трём взаимно перпендикулярным
