Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
сдвига.
Итак, величины
2s12, 2з.23, 2з31 (6.3)
- скорости деформаций сдвига в трёх координатных плоскостях.
Найдём теперь скорость объёмной деформа-которого служат отрезки
рёбрами 5):
Дт0 = Sjq 8д:2 8д:3,
объём же косоугольного параллелепипеда, составленного из отрезков О Мь О
М2 и О М3, будет представляться в виде определителя третьего порядка из
разностей координат концов этих отрезков, т. е.
dvt
А/
§ 6] КОМПОНЕНТЫ ТЕНЗОРА СКОРОСТЕЙ ДЕФОРМАЦИИ ЧАСТИЦЫ
Таким образом, относительное изменение объёма с точностью до М в первой
степени будет представляться в виде
Разделяя величину относительной объёмной деформации на промежуток времени
А? и переходя к пределу при Дt -*¦ 0, получим скорость относительной
объёмной деформации
Следовательно, скорость относительной объёмной деформации частицы
представляется в виде суммы скоростей деформаций удлинений трёх взаимно
перпендикулярных отрезков этой частицы.
Найдём скорость абсолютного удлинения отрезка ОМ произвольного
направления. Для этого вектор относительной скорости Vom> представленный
в виде (5.8), спроектируем на направление самого отрезка ОМ, т. е.
умножим скалярно на единичный вектор
Так как при этом проекция вектора линейной скорости от вращения будет
равна нулю, то скорость абсолютного удлинения отрезка будет
представляться в виде
С другой стороны, скорость абсолютного удлинения отрезка можно
представлять в виде производной по времени от длины самого отрезка, т. е.
в виде
В таком случае из (6.5) будем иметь производную по времени от квадрата
длины элементарного отрезка произвольного направления в виде
lim
д t о
Ат - Ат0 М Дт0
(6.4)
к = 3
У-
Lk \
к = 1
к-3 т = 3
(6.5)
к=1 т-1
d(ls)
dt
(6.6)
1 к-1
Итак, с помощью шести величин гтк полностью определяется абсолютная
скорость удлинения элементарного отрезка произвольного
42 СКОРОСТИ ДЕФОРМАЦИЙ ЧАСТИЦЫ. КОМПОНЕНТЫ НАПРЯЖЕНИЙ [гл. I
направления. На этом основании таблица, составленная из отдельных
компонент скорости деформации частицы
\
S21 S22 s23
I
'¦11 (О СО s13
!21 s22 s23
!31 S32 езз
| (6-7)
называется тензором скоростей деформации частицы. Тензор скоростей
деформации определяет всё состояние деформаций в достаточно малой области
около каждой точки пространства, занятого жидкостью.
Заметим, что деформация частицы была выше охарактеризована компонентами
скоростей деформации, содержащими лишь первые производные от компонент
скоростей смещения. Это случилось потому, что мы в разложении (5.1)
ограничились членами, содержащими Ьхк лишь в первой степени, и
пренебрегли последующими членами вида
%~3 1с - 3
1 V V1 д* V <4
г = 1 к-1
Следовательно, не при всяких размерах частицы и не при всяких изменениях
вектора скорости деформация частицы может быть охарактеризована введённым
тензором скоростей деформации. Тензор скоростей деформаций, содержащий
лишь первые производные от скоростей смещения, будет в достаточной мере
характеризовать деформацию частицы тогда, когда размеры её будут
настолько малы, что невы-писанный последующий член разложения (5.1) будет
по модулю намного меньше модуля суммы слагаемых, содержащих первые
степени $хк, т. е.
" = 3 й = 3 к = 3
1 I v V й "I V
2 I дхг дхк Х/с ^ I 2и дхк
г = 1 fe = 1 ft = 1
dV <ч
л йхк
дхк А-
(6.8)
Неравенство (6.8) позволяет определить допускаемый наибольший размер
частицы, при котором её деформация вполне характеризуется тензором
скоростей деформаций (6.7).
§ 7. Главные серости удлинений
Возьмём на продолжении отрезка ОМ точку К и обозначим координаты этой
точки относительно системы координат с началом О через Е2, Eg. Длину
отрезка ОК обозначим через R. Тогда координаты точки К будут
представляться в виде
Ьх{
§7]
ГЛАВНЫЕ СКОРОСТИ УДЛИНЕНИЙ
43
Определяя отсюда Ьх( и подставляя в формулу (6.5) для скорости
абсолютного удлинения отрезка ОМ, получим:
А?
8s
"1 = 3 fc = 3
V0M-i=2i
(7.1)
m~ 1 h=l
Длину отрезка OK будем выбирать так, чтобы левая часть (7.1) была
постоянной и равной единице, т. е.
OS
'ОМ'1
(7.2)
Правая часть (7.2) представляет собой величину, обратную относительной
скорости удлинения отрезка ОМ. Используя (7.2), получим из (7.1)
уравнение геометрического места точек К, квадрат расстояний которых до
центра частицы О обратно пропорционален относительной скорости удлинения
отрезка, совпадающего с направлением ОК, т, е.
т-3 к - 3
2Ф;
"г = 1 k -1
1.
(7.3)
Полученная поверхность второго порядка представляет собой поверхность
деформаций в точке О, Направляющие косинусы нормали к этой поверхности
будут пропорциональны частным производным от левой части (7.3) по
соответственным координатам, которые будут представляться в виде
дФ_
dik
ril - O lit - ">
'\l znik^m - smk ^xm¦ (J • 4)
Сопоставляя правую часть (7.4) с правой частью (5.10) для вектора
скорости перемещения, обусловленного только деформацией частицы, мы
видим, что направляющие косинусы нормали к поверхности (7.3)
пропорциональны проекциям вектора (Vour)^- Следовательно, вектор скорости
