Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
координатах
§++w, <№"Л>+w, (пНМ=0|
(1.8)
которое называется также уравнением неразрывности. Уравнение
неразрывности связывает локальное и конвективное изменения плотности
жидкости с изменениями скоростей при переходе от одной фиксированной
точки к другой.
Рассмотрим случай, когда положение фиксированной точки пространства
определяется с помощью обычных декартовых координат х, у-и z. В этом
случае мы будем иметь:
qt = x, q2 = y, qa = z;
г \ - и, v.2 = v, v.A=-W,
Ht = 1, H2= l, ня=\,
и уравнение неразрывности (1.8) примет вид
др ,д(рц) | д(ру) , д(Р&) = 0 /j дч
dt ' дх ' ду ' дг ' \ )
Если жидкость несжимаема (р = const), то уравнение неразрывности (1.9)
примет вид
^ + ^ + ^L = 0. (1.10)
дх 1 ду 1 дг 4
Уравнение (1.10) обычно называется уравнением несжимаемости. Левая часть
этого уравнения представляет собой дивергенцию век-тора скорости
du.dv.dw j- .г
dZ + 7t + l>F = <iwV' (1Л1)
Так как дивергенция вектора скорости представляет собой предел отношения
потока несжимаемой жидкости через бесконечно малую замкнутую поверхность
к величине объёма, охватываемого этой поверхностью, то в криволинейных
координатах эта дивергенция будет представляться выражением (1.6) с
обратным знаком, поделён-
74 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ вязкой жидкости [гл. II
ным на объём и сокращённым на плотность. Таким образом, для дивергенции
вектора скорости в криволинейных координатах получим следующее выражение:
div V =
1
(у.ЩЩ + Л- (vjlrt) + ^ (v3ЯХЯ2)] . (1.12)
Если существует потенциал скоростей <f>, то
dv dv dv
и = тг-, v=iY, w = -ir-'> dx ' dу ' dz '
1 d'-ij
(1.13)
" dy '
1 d? 1 d'-f
HYdqi' ^-ThWz'
В этом случае дивергенция вектора скорости иЗудет равна дифференциальному
оператору Лапласа от потенциала скоростей, т. е.
div
по аналогии ' dy'*
дг2 ~
1
Г д /Я2Я3
д /ЯзЯ^у^ ¦ д /Я^ d-f \ V Яо <Wr d?3 V Я3 dq3 )_
- Д<р (1.14)
Я^аЯд ldq1 \ H1 dq1 j ^ dq%
Формула (1.14) представляет оператор Лапласа в криволинейных координатах.
Произведение плотности р на вектор скорости частиц называется вектором
плотности потока массы. В таком случае уравнение неразрывности (1.8)
связывает локальное изменение плотности с дивергенцией вектора плотности
потока массы.
§ 2. Уравнение переноса количества движения
Теорему об изменении количества движения в фиксированном объёме можно
сформулировать следующим образом:
Количество движения в фиксированном объёме изменяется за счёт: 1) входа и
выхода масс через границы объёма, 2) действия импульса внешних массовых
сил и 3) действия импульса поверхностных сил напряжений.
Проведём подсчёт изменений количества движения в фиксированном
параллелепипеде с длинами рёбер Ssj, 8s2 и 8s3 (рис. 18).
Обозначим через F вектор силы, отнесённый к единице массы жидкости, а
через p_v р_2, Р-з - векторы напряжений на площадках, перпендикулярных к
касательным к координатным линиям qv q.2 и q2 и проходящих через точку О
(qu q2, q3). Знаки минусы в индексах означают, что нормали к этим
площадкам направлены против положительных направлений координатных линий.
В этом случае можно положить:
Рис. 18.
P_1~-Pv р_2 = ~р2, р_3:
¦Ра-
§ 2] УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ 75
В момент t масса, заключённая в параллелепипеде, имеет вектор количества
движения, равный
(РV)tHlH2H3^4l 8<72 3 ?8>
в момент же вектор количества движения в рассматриваемом
параллелепипеде будет равен
(P'Ot+A t HiH-2H-ikiV%=[(pV)t + ^ + • • •]
Следовательно, приращение вектора количества движения в фиксированном
параллелепипеде будет равно
<НрК)
dt
H1H2H.iAtoq1bq2bqa+... (2.1)
Теперь проконтролируем изменение количества движения за счёт входа и
выхода масс.
Через грань, перпендикулярную к касательной к координатной линии qv
входящая масса pv1H2H.i &q2 %qs At внесёт с собой в параллелепипед вектор
количеств движения
(pv1VH2Hii)qbq2bqfiAt.
Через противоположную грань из параллелепипеда выйдет масса
со следующим вектором количеств движения:
(pv1VHiHa)^iaibqibqabt =
+ ~ {pv1 VH2H3) 3*+....] 8<72 ?J% л/-
Следовательно, внутри параллелепипеда задержится вектор количеств
движения, равный
- . . . (2.2)
Проводя аналогичные рассуждения по отношению к граням, перпендикулярным
к касательным к координатным линиям q2 и q.3, получим:
- on S<7, S?2 '//. 11 - . . ., )
i J (2-3)
- Sft 0q2 oq.6At - . .. j
Складывая выражения (2.2) и (2.3), получим приращение вектора количеств
движения за счёт входа и выхода массы через границы параллелепипеда
- (pi"j VH2H&) + (pv2VHsНг) +
+ ^(р^^1^2)]87187287здг'~ •• • (2.4)
76 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ, II
Подсчитаем изменение количества движения за счёт действия сил. Приращение
количества движения массы в параллелепипеде за счёт действия объёмной
силы F будет равно элементарному импульсу этой силы, т. е,
pFH.H^bq^Jq-.M. (2.5)
На грань, перпендикулярную к касательной к координатной линии qv
действует импульс от вектора напряжения, равный
/"_itf2tfyS?.2o?3 At = -(p1H2H.i)(libq2 8<73 At.
