Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
В соотношении (12.6) первый инвариант тензора скоростей деформаций входит
один раз явно и второй раз под знаком интеграла, тогда как первый
инвариант тензора напряжений входит только явно. Аналогичное положение
имеет место и в соотношении (12.7) по отношению к девиаторам.
Следовательно, соотношения (12.6) и (12.7) можно и далее
обобщить, полагая, что
напряжения будут в новых соотношениях представлены гак же, как и скорости
деформаций. В таком случае получим:
t t
ао + чг (Pi + Pi + Pi) + -тг f (Pi + Рч + Рз) dt -j- я30 =c4 ( tidt-
0,
3 КГ1 i n I i з
о о
t t
Po + HDP) + p2 f {Dp) dt + p3 (?",) -j- p4 J (Dt)dl = 0.
(12.10)
)
Соотношения (12.10), содержащие 10 коэффициентов, будут представлять
среду, в которой состояния напряжений и деформаций будут находиться в
достаточно сложной зависимости друг от друга.
Частный случай среди с релаксацией напряжений, введённый Максвеллом2) в
1868 г., мы получим, если положим:
Ро = 0, Рз = 0.
В самом деле, применяя второе соотношение (12.10) к компоненте напряжения
сдвига, получим:
t t
$\Ргк "Ь Р2 J" Pik dt Р4 J" dt - 0, (12.11)
Kelvin, Malh. and Phys. Papers, r. 3, Cambridge, 1890.
2) Voigt, Ann. Phys. Chem (Wiedeman), т. 47, 1892.
3) Maxwell J. C., Phil. Mag. (4), 35, 1868.
70 СКОРОСТИ ДЕФОРМАЦИЙ ЧАСТИЦЫ. КОМПОНЕНТЫ НАПРЯЖЕНИЙ [ГЛ. I
Положим, что коэффициенты рг и р2 не зависят от времени, тогда после
дифференцирования (12.11) получим:
Pi^ + PaPft + p44s = 0. (12.12)
Соотношение (12.12) как раз и представляет собой то соотношение, которое
было принято Максвеллом. Полагая скорость деформации сдвига равной нулю и
проводя интегрирование, получим:
-b-t
Pik = (Pik) ое Pl ,
т. е. напряжение после обращения скорости деформации в нуль будет убывать
по закону показательной функции. Отношение ~ называется периодом
Р2
оелаксации напряжения.
ГЛАВА II
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ § 1. Уравнение
неразрывности
Положение фиксированной точки пространства в области, занятой жидкостью,
будем определять с помощью криволинейных ортогональных координат qv qй и
qb. Через эту точку проведём три линейных элемента координатных линий
8s2,
8s3, равные
bsi = H1tq1, Ss2 = H.2 iq.2, bsA= HabqA. (1.1)
Рассмотрим параллелепипед, построенный на этих трёх линейных элементах
(рис. 17). Компоненты вектора скорости частиц будут представляться в виде
0.2)
Проконтролируем изменение массы в фиксированном параллелепипеде двумя
способами: 1) способом непосредственного подсчёта изменения масс и 2)
способом учёта входа и выхода масс через границы.
В момент t масса в фиксированном параллелепипеде
Щ о<72 0(7,..
В момент
^)г+дгЯ1Я2^зг?1^^;! = [(р)<4-Д^+ • • -]Н1И
Следовательно, приращение массы в рассматриваемом параллелепипеде за
промежуток времени Дt будет равно
%H1HiHbLtlqibqibqi+ ... (1.3)
Точками в правой части (1.3) отмечены слагаемые, имеющие более высокий
порядок малости за счёт лишнего множителя М в разных степенях.
72 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. II
Теперь проконтролируем вход и выход массы через грани, перпендикулярные к
касательным к координатной линии qv Через переднюю грань, проходящую
через точку О с координатами q±, q2 и q3, войдёт за промежуток времени Д^
масса, равная
Через противоположную грань, проходящую через точку с координатами q1-{-
bq1, q2, q3, из параллелепипеда выйдет за тот же промежуток времени
масса, равная
Следовательно, внутри параллелепипеда задержится масса, равная
Точками в правой части отмечены те слагаемые, которые имеют, по крайней
мере, один лишний множитель оqv Если мы возьмём две грани,
перпендикулярные к касательным к координатной линии q2, а затем и
перпендикулярные к касательным линиям qz, и проведём аналогичные
рассуждения, то для количеств массы, задержавшихся внутри
параллелепипеда, получим следующие выражения:
Складывая выражения (1.4) и (1.5), получим то приращение массы внутри
параллелепипеда, которое будет иметь место за счёт входа и выхода массы
через его границы за промежуток времени Д^:
Предполагаем, что внутри параллелепипеда источников нет; тогда изменение
массы за счёт изменения плотности, представленное выражением (1.3), и
изменение массы (1.6) за счёт входа и выхода её через границы должны быть
равны между собой, т. е.
(рZq2 оq.A At.
bq2 оq.A At =
= [(рv,H2 W3)ffi + ~ (рЦ, + • • • ] oq2 oqs At
(1.4)
(p^2wbwi)b4is?2bq&At- .
8q± oq2 oqs At - . . .
(1.5)
H±H2Hg Д^ о4l oq2oq3-j- ... = - ^ (qv^HJ +
+ ^-(рг12ЯаЯ1)+А(рг,3Я1Я2)]8918^2о^Д^- ... (1.7)
§ 1] УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ 73
Это уравнение представляет собой уравнение изменения массы в элементарном
фиксированном параллелепипеде. Делим обе части равенства (1.7) на
произведение
Н±Н2Н.3 Lt 8q± bq2 8q9
и переходим к пределу, стягивая параллелепипед в точку (8^->-0, lq2 ->¦
0, Sg'g -> 0), а промежуток времени Д7 к нулю. Тогда все бесконечно малые
слагаемые высшего порядка обратятся в нуль, и мы получим уравнение
изменения масс в фиксированной точке пространства в криволинейных
