Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
деформаций. Это можно сделать, если положить в соотношениях (11.16) или
(11.4) давление равным нулю. Тогда получим следующие соотношения,
связывающие напряжения со скоростями деформаций:
При таком предположении среднее нормальное напряжение строго
пропорционально скорости объёмной деформации, т. е.
Соотношения (12.1) и (12.2) по своему формальному виду совпадают с
соотношениями для упругой среды, подчиняющейся обобщённому закону Гука, с
той лишь разницей, что вместо самих деформаций для упругой среды в
рассматриваемом случае входят скорости деформаций. На этом основании
гипотетическую среду, для которой принимаются соотношения (12.1), можно
именовать чисто вязкой средой. В чисто вязкой среде напряжения возникают
лишь тогда, когда возникают скорости деформаций частиц. Дифференциальные
уравнения движения такой среды впервые были предложены ещё Коши в 1828
г., а затем в 1877 г. Бочером!). В качестве примера такой чисто вязкой
среды Бочер привёл канадский бальзам.
Другая возможность уравнять отношения напряжений и скоростей деформаций
будет заключаться в том, чтобы и касательное напряжение связать со
скоростью деформации сдвига также неоднородным соотношением. Например,
соотношения (11.22) и (11.23) мы можем заменить новыми, имеющими вид
(12.1)
Pl2 ~ 2^X2, Р23 = 2^23. Psi = 2f*e31.
з" (Pll Р22 + Рзз) =
(12.2)
р" =-р + №,
р.,, = & + 2[ле.,т,
}
(12.3)
l) Butcher, Proc. Lond. Math. Soc., vol. VIII, 1877.
68 СКОРОСТИ ДЕФОРМАЦИЙ ЧАСТИЦЫ. КОМПОНЕНТЫ НАПРЯЖЕНИЙ [ГЛ. 1
где слагаемое 0 следует именовать предельным напряжением сдвига. Среду,
для которой принимаются соотношения (12.3), можно называть пластически-
вязкой средой. Впервые такую пластически-вязкую среду ввёл в рассмотрение
Бочер 1), а затем и Бингам2). В своих исследованиях Бингам показал, что
примерами пластически-вязкой среды могут служить масляные краски и
некоторые виды суспензий. М. П. Воларович3) рассматривал смазочные масла
при низких температурах также как пластически-вязкие среды. Им же
разработаны и некоторые приборы для определения величины предельного
напряжения сдвига. Второе соотношение (12.3) с заменой р.,- и е.,т через
максимальные компоненты было использовано А. А. Ильюшиным *) в созданной
им теории пластически-вязких деформаций некоторых металлов.
До сих пор состояние деформаций характеризовалось одним только тензором
скоростей деформаций. Если для характеристики состояния деформаций в
каждой точке среды привлечь, помимо тензора скоростей деформаций, ещё и
тензор самих деформаций, то можно получить и другие соотношения,
отвечающие другим видам сред с различными механическими свойствами.
Скорость деформации представляет собой величину деформации, образованную
за единицу времени. Следовательно, чтобы получить величину деформации,
образованную за конечный промежуток времени, надо скорость этой
деформации умножить на дифференциал времени и проинтегрировать, например,
от нуля до произвольного момента времени t. Таким образом, величины
объёмной деформации и девиатора самих деформаций могут быть представлены
в виде
t
о
t
(De) = J* (De) dt. (12.5)
0
Примем, что первый инвариант тензора напряжений линейно зависит от первых
инвариантов тензоров деформаций и скоростей деформаций, т. е.
t
у (Pi + Р2 + Рз) = - Р Jr >-'0 + J 0 dt. (12.6)
О
Кроме того, положим, что и девиатор напряжений также линейно
представляется через девиаторы деформаций и скоростей деформаций, т. е.
t
(Dp) = (?>") -f 2р. (Ds) + 2G J (?>,) dt, (12.7)
о
где (?>8) - постоянный девиатор. Соотношения (12.6) и (12.7) обобщают
соотношения (11.3) н (11.19) в сторону учёта дополнительных слагаемых в
правых частях, пропорциональных самим деформациям. Поэтому они в себе
будут содержать уже как частные случаи, и те соотношения, которые
имеют
место для вязкой среды, для упругой среды и упруго-пластической
среды.
Эти соотношения включают в себя также и случай среды с последействием.
1) См. сноску на стр. 67.
2) Bingham, Fluidity and Plasticity, New-York, 1922.
в) Воларович М. П., Вязкость смазочных масел, Изд. АН СССР, 1944.
4 Ильюшин А. А., Учёные записки МГУ, вып. 39, 1940.
§ 12]
РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ СРЕД
69
В самом деле, положим в последнем соотношении (12.7) постоянный девиатор
равным нулю. Применяя это соотношение к одной из компонент сдвига, будем
иметь:
t
Pik = 2№{к + 2G J eik dt. (12.8)
о
Полагая напряжение равным нулю, а р и G не зависящими от времени, после
дифференцирования будем иметь:
dt ^ р. гк ~ и-После интегрирования этого уравнения получим:
ггк - {Цк) о<? 11 • (12.9)
Скорость деформации сдвига будет убывать после обращения в нуль
соответственного напряжения по закону показательной функции, а как раз
этим свойством и характеризуется среда с простейшим видом последействия.
Идея учёта вязкости для твёрдых упругих тел была впервые выдвинута
Кельвином1) в 1878 г., но формальные соотношения вида (12.8) были введены
в рассмотрение позднее Фогтом2) в 1892 г.
