Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
И,
1, На - г, Н" - 1.
Обозначая компоненты скорости движения через vn z>9 и vz и используя
формулы (8.6) и (8.7), получим следующие выражения для z скоростей
деформации частицы в цилин-
дрических координатах:
_ dvr 3"' " ~дг~ '
- I А
ч* - г ^
д-и.
2ss, ^
dz '
1 dvr
г ду
dv,. 1 dv?
: ________?_L________I
dz ' г d<f> '
dv? I dvr dr 'Г'
о- - I r (\
2звг
dz
(8.9)
Компоненты вектора-вихря в цилиндрических координатах будут
представляться в виде
1 г дуй д (rv9 1>' 2r [ ду dz
1 Г dvr dv?
[&-$¦]• } <8Л0> |> ,rtv- "'] 1
2 I dz
J_
2 г
Квадрат линейного элемента в сферических координатах (рис. 9) R, (r) и Й
представляется в виде
8s2 = 8/?2 + /?2802+ R2 sin2 6S^2.
Следовательно,
Я1=1, Я2 = Д, tf3=:?sin6.
Если обозначить компоненты скорости движения через vr, ve и vT то на
основании формул (8.6) и (8.7) получим следующие выраже-
КОМПОНЕНТЫ НАПРЯЖЕНИЙ
51
ния для скоростей деформации частицы в сферических координатах:
<р<р
-т
dvR
dR ' 1
1 dvR
о_ ___________________ а
= -ц ¦
dv§
дЪ
dR R '
dv"
-4-- 4-R sin 0 d<f ' R
1 дУь vR
~R R '
vR , ^ctge
2s.aR =z
dv
f
1
dv
R
dR
1
"T1 R sin 0 dy "r R dO
R sin 0 d'f dvо 1 dvv
"t- ~5 4n
R'
v<f ctg I
R (8.11)
Компоненты вектора-вихря в сферических координатах будут представляться в
виде
d 1
2R2 sin 0 Ld0 Щ
"в
1ш[м (MsinO)-
[dvn d п
l^-57?K"sin,4
2R sin 0 1 г d dvn л
TR [dtf WJ '
(8.12)
§ 9. Компоненты напряжений
Связи в механике заменяются действием особых сил, называемых реакциями
связей и прикладываемых в тех точках тела, в которых эти связи
осуществляются. Аналогично обстоит дело и в механике деформируемой среды.
Если- мы хотим рассмотреть какую-либо часть среды, ограниченную некоторой
замкнутой поверхностью а (рис. 10), то мы должны заменить действие
остальной массы среды реакциями связей. Так как связь рассматриваемой
части с остальной массой среды осуществляется по всей поверхности з, то
реакции связей должны быть распределены по всей поверхности а. Таким
образом, силы воздействия на рассматриваемую часть среды со стороны всей
остальной массы суть силы поверхностные.
Сила воздействия на рассматриваемую часть среды со стороны окружающей
массы, отнесённая к единице площади поверхности соприкосновения о,
называется напряжением р.
Напряжение представляет собой вектор, зависящий также и от ориентации
рассматриваемой элементарной площадки. Последнее обстоятельство
отмечается тем, что к обозначению вектора напряжения
52 СКОРОСТИ ДЕФОРМАЦИЙ ЧАСТИЦЫ. КОМПОНЕНТЫ НАПРЯЖЕНИЙ [ГЛ. I
присоединяется внизу индекс, указывающий направление нормали к
рассматриваемой площадке (рис. 11).
Если мы эту элементарную площадку Дз будем поворачивать так, чтобы
нормаль п последовательно совпала с положительными направлениями
прямолинейных осей координат, то получим три вектора напряжений:
Pv Pi' Ра-
Проектируя эти три вектора напряжений
на оси, получим следующую таблицу
компонент напряжений в рассматриваемой
точке: •
Pll Pl'2 Р13
Pi I
Pi 1
Pii P-2'i Pa -2 /V,
(9.1)
По диагонали будут располагаться те компоненты напряжений, направления
которых совпадут с направлениями нормалей трёх взаимно перпендикулярных
площадок. Эти компоненты напряжений называются нормальными напряжениями.
Направления остальных компонент
напряжений будут располагаться в плоскостях самих элементарных площадок и
поэтому эти компоненты напряжений называются касательными напряжениями.
Рассмотрим теперь тетраэдр АВСМ (рис. 12), боковые грани которого Дз^
Дз2, Да,, соответственно перпенди-
к осям х.
х,
3'
Рис. 12.
кулярны
а грань основания Дз имеет произвольное направление с нормалью п. Так как
внешние нормали к площадкам Дзх, Дз2, Дза параллельны отрицательным
направлениям хг, х%, х.д, то векторы напряжений по этим площадкам будем
обозначать через
л>_!, Р_2> Р-з-
Знак минус в индексе означает, что рассматривается напряжение на той
стороне площадки, которая обращена наружу тетраэдра, т. е. берём внешнюю
нормаль. В силу закона действия и противодействия векторы напряжений,
приложенные к обеим сторонам одной и той же элементарной площадки, должны
быть равны между собой по величине, но иметь прямо противоположные
направления, т. е.
(9.2)
'-г
Р-2 - ~Pi.t Р-3- Pi-
КОМПОНЕНТЫ НАПРЯЖЕНИЙ
53
На тетраэдр, помимо напряжений рп, р_2 и р_3, будут действовать ещё
массовые силы, вектор которых, отнесённый к единице массы, мы обозначим
через F. Следовательно, по закону Ньютона имеем:
-^-ЛДзро) = ^Мзг>/7 + />,гДз--{-/>_1Дз1--|-/>_2Дз2-(-/>_уДз:1, (9.3)
где w - вектор ускорения, о - плотность и h-высота тетраэдра. Обозначим
направляющие косинусы нормали с осями xv х2, х3 через lv /2 и /а, тогда
Дз* = Дз/Л (А = 1, 2, 3).
Подставляя это в (9.3) и используя равенство (9.2), после разделения на
Дз будем иметь:
к=з
I hfw = ~ hpF+pn - 2 М-• (9-4)
к=1
Будем теперь переходить к пределу, приближая площадку Дз к точке М, т. е.
уменьшая h до нуля. В результате получим:
к = 3
Рп - SM' (9-5)
