Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Слёзкин Н.А. -> "Динамика вязкой несжимаемой жидкости" -> 18

Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.

Слёзкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости — М.: Технико-теоретической литературы, 1955. — 520 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamikavyazkoynesjimaemoyjidkosti1955.pdf
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 170 >> Следующая

S22 - 5Г2' Ё23- "2 [dJF^d^)' "2 - 2"'>
ar,> esi = Yte+^J' "9=2-te-arJ*
(5.4)
33 ¦
(5.5)
При этих обозначениях равенство (5.4) представится в виде
к = 3
((r)l)
ОМ
1 2 81*^Л:й~Ь
к = 1
8лг2 8лг3
(5.6)
§ 5]
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ В ЧАСТИЦЕ
37
Проведя аналогичные преобразования по отношению к проекциям (v2)0M и
(va)0М' полУчим:
к = 3
^ОЖ = S2fe 8лГТс + к = 1 к=3
(Vs)ofi ~ S 83* ^Хк +
7с = 1
tOg tOj
8л;3 J
<°1 <°2
8л;.2
(5.7)
Умножая левые и правые части (5.6) и (5.7) на единичные векторы ilt i2 и
/3 соответственно и складывая, получим следующее выражение для вектора
относительной скорости в произвольной точке М частицы:
ш - 3 к-3 *1 *2 *3
^ом *т tOj to2 to3 (5.8)
ш=1 к-1 Зл^ dx2 Sxs
Определитель в правой части (5.8) есть векторное произведение вектора w
на относительный радиус-вектор 8s. Такое векторное произведение может
рассматриваться как вектор линейной скорости точки М от вращения частицы
как единого целого относительно мгновенной оси, проходящей через точку О,
с угловой скоростью to, т. е.
(уолг) BP = wXSs =
to
'1 "а шз 8хх 8л;2 8л;3
•¦з
to..
(5.9)
Вектор о), проекции которого представляются тремя последними
соотношениями (5.5), называется вектором вихря частицы.
Что касается первого вектора в правой части (5.8), то это есть
дополнительный вектор той скорости, которая обусловлена возможными
деформациями частицы. Обозначая его через (Уом)де$> будем иметь:
т-з к-3
(У ОМ)деф == 2 2 гтк^хк'1т- (5.10)
т-1 к = 1
Учитывая обозначения (5.9) и (5.10), равенство (5.8) можно представить в
виде
(5.11)
У ом = Уом)Щ1 + (У ом)
деф '
Таким образом, относительное движение точек частицы по отношению к её
центру составляется из вращательного движения частицы как целого и
движения, обусловленного деформацией частицы.
38 СКОРОСТИ ДЕФОРМАЦИЙ ЧАСТИЦЫ. КОМПОНЕНТЫ НАПРЯЖЕНИЙ [ГЛ. Т
Возвращаясь к равенству (5.1) и учитывая (5.11), получим:
= У0+(У0м)вр + (У0м)яеф. (5.12)
Равенством (5.12) представляется теорема Гельмгольца о разложении
движения частицы жидкости. Согласно этой теореме движение частицы
жидкости может быть составлено из трёх движений'. 1) поступательного
движения, совпадающего с движением центра частицы, 2) вращательного
движения вокруг мгновенной оси, проходящей через центр частицы, с угловой
скоростью, равной вихрю вектора скорости центра, и 3) движения,
обусловленного деформацией частицы.
§ 6. Компоненты тензора скоростей деформации частицы
Рассмотрим два прямолинейных элементарных отрезка частицы, параллельных
осям хг и х2 (рис. 4). Через промежуток времени At
эти отрезки сместятся и изменят свои длины и направления. Пусть
элементарное смещение точки О будет;
00'
V {xt, х2, ха; t) At,
тогда векторы смещений точек Мх и М2 могут быть представлены в виде
MjMi = V(xv х2, ха; t)At-\-^bxlAt, М2М2 = V(xx, х2, ху, t)At-\-^^bx2At.
При этих предположениях будем иметь следующие координаты точек О', М[ и
М':
О' {xlJ\-vlAt, x2-\-v2At, х.д-\-ю.ЛА^, M[{x1-\-bx1~\-v1At-\-d^^x1At, x2 +
v2At-\-
+bx^At' xe+v*At+d<nkAt)'
M'2(x1-\-v1At-\-d^bx2At, x.2-\-bx2-\rV2At-\-
^ *3 + г'з ^ ^ •
§ 6] КОМПОНЕНТЫ ТЕНЗОРА СКОРОСТЕЙ ДЕФОРМАЦИИ ЧАСТИЦЫ 39
На основании этих координат находим значения длин отрезков:
f k = 1
0'м',=, Ьх^ '+2§А(+|(|а)!4,.,
• Ъ~-1
м[м'2 - | 8x1 -j-8xa - 2 8хр bx2At{^~-j-
k = t
+ 2 At (bx\ + 8x1 + 2 (Sf Sx2 - §*i)J Д*3}
(6.1)
)
Таким образом, относительные удлинения отрезков, параллельных осям xi и
х2, будут представляться в виде
к= з
к= 1
О iVl,? - ОМ , f dvo VI Idvi \з
-¦=V 1+2Й"+5(c)4'2-1-
ОА/.>
ft=x
Раскладывая правые части по биному Ньютона и ограничиваясь лишь
слагаемыми, содержащими At в первой степени, получим:
dx.
ОМх
0'M2-0M2_dv2
<?Хс
Д?.
Если относительный удлинения отрезков ОЖр и ОЖ2 разделить на промежуток
времени, в течение которого образовались эти относительные удлинения, и
перейти к пределу, уменьшая промежуток времени At до нуля, то получим
скорости деформации удлинений рассматриваемых отрезков
0'м[ - ОМ1 _ dv± лЙо " Д(ОМ~ = Ш1 = **'
д<->о
Таким образом, величины
о'м', - ОМ" dv"
Нш --------g -r-g = e22.
М ОМ., дх2 11
°11" 22'
°33
(6.2)
40 СКОРОСТИ ДЕФОРМАЦИЙ ЧАСТИЦЫ. КОМПОНЕНТЫ НАПРЯЖЕНИЙ [ГЛ. I
представляют собой скорости деформаций удлинений отрезков, параллельных
осям координат. Определим теперь величину сношения прямого угла между
отрезками ОМ± и ОМ2. На основании
формулы квадрата О MiMа находим:
стороны против острого угла в треугольнике
cos (М±0 М2) =
(оХ)а + (оХ>3 - f
2 ОМ'
ч-ОМа
Подставляя в правую часть значения длин из (6.1) до Дt в первой степени и
производя соответственные получим:
с точностью сокращения,
cos (Л^О Ж2) =
1+ёд/-
dv2
ОХ;
Значение косинуса угла М±0 Мг будет характеризовать сношение
прямого угла МхОМ2 за этого сношения разделить
Рис. 5.
ции. Объём
параллелепипеда,
^з>
OMlt ОМ2 и ОМ3, будет (рис
промежуток времени At. Если величину на промежуток времени At и перейти к
пределу, уменьшая At до нуля, то получим скорость деформации сношения или
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 170 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed