Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
(Vx Ом)деф - У(Уом)дчф (Vп Ом)деф
OS ~2
= Ц-1/2 (а* + ар - (в1 + г/ = Us (в1 - s2).
§ 8] ТЕНЗОР СКОРОСТЕЙ ДЕФОРМАЦИИ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 47
Разделив левую и правую части на 8s, получим скорость деформации сдвига
на площадке, разделяющей угол между главными направлениями (1) и (2)
деформаций на две равные части:
где через (Г) и (2') мы обозначили направления биссектрис углов между
направлениями (1) и (2). Аналогично обстоит дело и со скоростями
деформации сдвига на площадках, служащих биссектрисами направлений (2),
(3) и (3), (1), т. е.
Величины ец2', гз'3'> Ез'г называются главными скоростями сдвига.
Следовательно, главные скорости деформации сдвига равны полусуммам
главных скоростей удлинений соответственных отрезков. Так как среди
значений sv е2 и е3 имеется как минимальная скорость удлинения, так и
максимальная, то разность именно этих главных скоростей удлинений будет
давать максимальное значение скорости деформации сдвига.
§ 8. Компоненты тензора скоростей деформации в криволинейных координатах
Рассмотрим криволинейные ортогональные координаты qv и q3 (рис. 7).
Элементы координатных линий будут представляться в виде
ei'2' - 2~ (Ei - Е2)>
(7.16)
е2'з' - у (sa- ез)'
_ 1 / " ч
E3'i' - 2 *Ез °i'-
(7.17)
bs1 = H1 bqv 8s2 = H28^2,
8s" = tf3 3?s,
где Hv H2 и Hs суть дифференциальные параметры J1 яме. Выражение для
первого из этих коэффициентов мы получим, если рассмотрим квадрат
линейного элемента 8sj в декартовых координатах
Рис. 7.
и учтём, что приращения обусловлены приращением только одной координаты
qx, т. е.
" dxs "
48 скорости ДЕФОРМАЦИЙ ЧАСТИЦЫ. КОМПОНЕНТЫ НАПРЯЖЕНИЙ [гл. I Тогда
получим:
т. е.
i=1 i-S
(8Л)
1=1
Так как составляющие вектора скорости точки можно получать с помощью
деления элементарных отрезков пути перемещения на элементарный промежуток
времени, то эти составляющие вектора скорости в криволинейных координатах
будут иметь вид
= (8.2)
Квадрат произвольного линейного элемента в криволинейных ортогональных
координатах будет представляться следующим образом:
к = 3
8s* = 2/*! 8?|. (8.3)
к =1
Дифференцируя это равенство по времени, получим:
к = Ъ
№ = 2 2 [н, ig 8,| + Н% iqt iM. (8.4)
к=1
Так как Нк зависит от времени только через координаты qit то
t=3 {=3
dHk _ V дНк йЯ1 _ V vi дИк
_ у щ
- и Н,
dt dqt dt ?4 Щ dq{
1=1 i=1
Обозначение bqk представляет собой разность значений координаты qk в двух
близких точках, т. е.
°Як = Qki Як>
поэтому будем иметь:
i= з
я _ tfgfti dgk _ vkl Ук _ь(Ук\_ у д (Ук\%
dt (0<7л) - dt dt - Нк1 Hk-b\Hk)~Zi dqt\Hk)
1 = 1
Подставляя полученные выражения в (8.4) и заменяя 8qk через 8sk, получим
следующую формулу для производной по времени от квадрата линейного
элемента:
7^=1 l[757kw^+t4(S)Ss'4' <8'5)
1=1 к=1
§ 8] ТЕНЗОР СКОРОСТЕЙ ДЕФОРМАЦИИ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 49
В случае прямолинейных осей координат производная от квадрата линейного
элемента представлялась через компоненты скоростей деформации равенством
(6.6). Сопоставляя формулы (6.6) и (8.5), мы можем прийти к тому
заключению, что компоненты скоростей деформации частицы в криволинейных
координатах можно получить из- (8.5), собирая коэффициенты при квадратах
и при произведениях линейных элементов координатных линий. Например,
скорость деформации относительного удлинения отрезка, направленного по
касательной к координатной линии qv мы получим, если соберём в правой
части (8.5) коэффициенты при оsj:
¦1 = 3
- - V vi д ( vА гя fi'i
Zl ЩН, dqt "Г dqi\Hi)' ( '
i = 1
Скорость деформации сдвига в плоскости касательных к координатным линиям
qx и <7.2 будет представляться в виде
9, ___ d / Vi ^ I д ( у% \ уч
2^^ Щ W* \Н1) + Ж dfi \-Щ) • (8'7)
Остальные компоненты скоростей деформации частицы можно получить из (8.6)
и (8.7), меняя индексы в круговом порядке.
Для определения выражений компонент вихря в криволинейных координатах
применим теорему Стокса к элементарной площадке H1tq1H2bq2. Согласно этой
теореме удвоенный поток вектора вихря через площадку равен циркуляции
вектора скорости по контуру, ограничивающему эту площадку. Обозначим
компоненты вектора вихря через ш1, ш.2 й ша. Тогда удвоенный поток
вектора вихря через рассматриваемую площадку будет представляться в виде
2ш3Яitf2o<7i8<72.
Циркуляцию по ограничивающему площадку контуру будем подсчитывать как
произведение проекции вектора скорости на касательную к контуру на
элемент дуги и на косинус соответственного угла, т. е.
Г = (v1H1)Jq1 + {v.2H2)q ^4i S<72 - f (u2tf2)3i =
_ d{v2H2) d {v\Hx)~
8<7i Ца-
. dqi dq-i
Таким образом, компонента вихря ш3 будет представляться в виде
(8-8)
Выражения для других компонент вихря могут быть получены из (8.8)
изменением индексов в круговом порядке.
50
СКОРОСТИ ДЕФОРМАЦИЙ ЧАСТИЦЫ. КОМПОНЕНТЫ НАПРЯЖЕНИЙ [ГЛ. I
Рассмотрим цилиндрические координаты г, ср и z (рис. 8). Квадрат
линейного элемента представляется в виде
8s2 = Ьг9 -|- г2 of9 -|- од2.
Следовательно, параметры Ляме будут равны
