Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
течений.
Такая зависимость между параметрами должна быть установлена с помощью
четырёх независимых решений уравнения (4.3) и соответственных однородных
граничных условий. Если независимые решения обозначить через ср4, ср2,
ср3 и ср4, то общее решение уравнения
(4.3) представится в виде
ср (со) оо.
(4.11)
С - сг -[- 1С4.
F(a, R, с)= 0.
(4.12)
(4.13)
ci(a> R) = 0
(4.14)
? = Cl9t + С2?2 + СзЪ + С4ср4.
(4.15)
Используя однородные граничные условия (4.7), мы получим однородную
систему четырёх уравнений относительно постоянных С,, С.2, С3 и С4.
Условие разрешимости этой системы уравнений даст нам
ТЕЧЕНИЕ МЕЖДУ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ СТЕНКАМИ
415
характеристическое или вековое уравнение
<Pi(0) ?2(0) ?з(°) 'Р4(°)
(0) ??(0) <р'(0) ср'(О)
?iGt) TaCyi) ?в(Л) ?i6'i)
v[Gi) ?S (Л) 'РКЛ)
= 0.
(4.16)
Это уравнение как раз и будет представлять собой зависимость (4.12) между
параметрами a, R и с для случая ламинарного течения между параллельными
неподвижными стенками.
Для течения в пограничном слое мы должны одно из независимых, например
(r)4, отбросить как не удовлетворяющее условию ограниченности решения
(4.11). Следовательно, общее решение уравнения
(4.3) в этом случае должно представляться в виде
Это общее решение должно удовлетворять граничным условиям (4.8) и (4.10).
Но так как при приближении к границе слоя уравнение (4.3) должно
вырождаться в уравнение (4.9), то на этой границе третье независимое
решение ср3 должно оказаться несущественным и его можно отбросить при
удовлетворении условию (4.10). В таком случае вековое уравнение для
случая течения в пограничном слое будет:
Чтобы из вековых уравнений (4.16) и (4.18) получить уравнение
разграничительной кривой (4.14) в конкретном виде, необходимо в явном
виде построить четыре независимых решения уравнения (4.3); в этом-то и
заключается основная математическая трудность рассматриваемой задачи об
устойчивости ламинарных течений. Наиболее распространённым методом
решения обыкновенного дифференциального уравнения с переменными
коэффициентами является метод представления решения по степеням
соответственно выбранного малого параметра. Так как ламинарное течение
теряет устойчивость при сравнительно больших значениях числа Рейнольдса,
то в рассматриваемом случае в качестве малого параметра можно было бы
выбрать
отношение Но в уравнении (4.3) этот малый параметр входит
множителем при старшей производной. Это обстоятельство создаёт
дополнительные трудности в применении метода разложения решения
по степеням малого параметра Эти трудности возникают,
Ct|\
О С1ср1 -ф- С2ср2 -ф- Сзсрз.
(4.17)
?i(0) ?а(0) (r)в(0)
?1(0) <Ра(0) ср'(0) =0. (4.18)
a<Pi6'i)+'PiO'i) а(?2 Оч) Ч~ Оч) о
416
УСТОЙЧИВОСТЬ ЛАМИНАРНЫХ ТЕЧЕНИЙ
[ГЛ. X!
во-первых, оттого, что в нулевом приближении мы получим дифференциальное
уравнение второго порядка, а не четвёртого. Следовательно, в этом
приближении можно построить только два независимых решения, а не четыре.
Во-вторых, для дифференциального
уравнения второго порядка точка у-ус, для которой будет выполняться
равенство
"'0'с) = с> (4Л9)
будет особой точкой, тогда как для полного уравнения (4.3) эта точка не
будет особой. На это обстоятельство раньше не обращалось внимание
исследователей; именно по этой причине и не удавалось обнаружить
неустойчивость ламинарного течения между параллельными стенками. Наличие
особой точки у = ус вынуждает по-особому выбирать путь соответственного
интегрирования в плоскости комплексного переменного у при аналитическом
продолжении дифференциального уравнения (4.3) на эту плоскость. Подробное
исследование всех этих вопросов дано в цитированной выше работе Лина. Для
проведения числовых вычислений в этой работе используется метод
построения асимптотических решений уравнения (4.3), заключающийся в
следующем.
Первые два независимых решения строятся путём непосредственного
разложения решения по степеням параметра Полагая
cP(^) = cPo(3')+(fl'R)_lcPi(iO + (fl'R)-2cP2(3')+ •••• (4-20)
подставляя это разложение в уравнение (4.3) и собирая коэффициенты при
одинаковых степенях параметра, получим следующую последовательность
дифференциальных уравнений второго порядка:
{w - c){ сро-а2ср0) -¦o""f0 = 0, (4.21)
(w - с) (ср* - а2ср*) - w"<fk = - I (cp*_i - 2a2cp*_i + a"cp*_i) (k > 1).
(4.22)
Дифференциальное уравнение (4.21) нулевого приближения, отвечающее полю
возмущений без учёта сил вязкости, можно решить с помощью разложений по
степеням параметра а2. Этим путём можно получить два независимых решендя:
ср^1 = (w - c)[Ao(30-f "2А26') + а*М.У)+ •••!.) 3)
ср(03) = (да - 0)^0)+ a2?3(.y) + a**6(.y)+ ...]. j
§ 4]
где
ТЕЧЕНИЕ МЕЖДУ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ СТЕНКАМИ
417
*oOO= 1.
У
У
Л-2П+2 (У) = / аУ (W - С)~2 / (W - С)2 А2я (.У) <*У,
МУ>=
(4.24)
о
V
У
O') = / ((r) - С)'2 [J *.у] dy.
о
о
Последующие приближения могут быть найдены из уравнений
(4.22) с помощью метода вариации произвольной постоянной через
решения (4.23). Но при вычислениях, оказывается, можно обойтись и без
