Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
Для случая течения в пограничном слое разграничительная кривая
представлена на рис. 101, а наименьшее значение критического числа
Рейнольдса для пограничного слоя на пластинке равно
В работе Скрэмстед и Шубауэра *•) приведены результаты измерений
пульсации в пограничном слое и на основании этих из-
*) Skrarastad and Schubauer, J. Aeronautical Sc., т. 14, 12, 1947.
ax = Uw{y)
надо составить следующее уравнение:
w (Л) = с
1 / w' (0) I w2 O') dy 30w' (0) \ о____________
с
(4.38)
а для случая течения в пограничном слое - по формуле
(4.39)
§41
ТЕЧЕНИЕ МЕЖДУ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ СТЕНКАМИ
421
мерений были вычислены значения R и а, отвечающие началу потери
устойчивости. Точки вычисленных значений R и а располагались достаточно
близко к разграничительной кривой на рис. 101.
В заключение следует отметить, что применению метода теории колебаний к
исследованию устойчивости ламинарного течения было
**
посвящено большое количество печатных статей в различных журналах. Однако
только в последних статьях Лина ценой весьма сложных вычислений удалось
методом малых колебаний обнаружить потерю устойчивости ламинарных течений
между неподвижными
Рис. 101.
параллельными стенками и в пограничном слое при достаточно больших
значениях числа Рейнольдса. Но потерю устойчивости ламинарных течений
между параллельными стенками с прямолинейным профилем распределения
скоростей и в цилиндрической трубе этим методом ещё не удалось
обнаружить. Выполненные до сих пор
422
УСТОЙЧИВОСТЬ ЛАМИНАРНЫХ ТЕЧЕНИЙ
[ГЛ. XI
теоретические исследования устойчивости ламинарного течения в
цилиндрической трубе сводятся пока только к одному заключению, что это
течение устойчиво по отношению к достаточно малым возмущениям.
§ 5. Об устойчивости кругового движения между двумя бесконечными
цилиндрами
В § 7 главы IV было рассмотрено установившееся круговое движение частиц
вязкой несжимаемой жидкости. Для единственной компоненты скорости vlv
была'получена формула
С о
1?
(5.1)
Если рассматривать круговое движение между двумя вращающимися цилиндрами
(г = Ь и г = а), то на основании условий прилипания частиц жидкости к
стенкам получим:
С,
да - 62
Ь-т
с,,=
¦(-а
-ш8
(5.2)
Будем теперь исследовать устойчивость кругового движения (5.1) с помощью
метода малых колебаний. При этом будем предполагать, что поле возмущений
является пространственным, но обладающим осевой симметрией. При этих
предположениях для поля возмущений будут иметь место дифференциальные
уравнения (2.16). Если в эти уравнения подставить выражение (5.1), то
получим:
¦%г 4-2^ + + v [-gpr + -
д_
дг
( dvr\ vr
V дг) га г\дг) га
(4)
д (rv'r) д (rvz)
- 2С
'
О
dz2
г д
+ '' [
. ,rd:i
р dz ^ L дгг
дг
dz
_dvr
dv?
" dt
" dt = 0.
(5.3)
Потребуем, чтобы компоненты вектора скорости поля возмущений
удовлетворяли условиям прилипания, т. е.
Ъ и г = а v' = 0, v = 0, v = 0. (5.4)
г у Z 4 '
при
Таким образом, задача исследования устойчивости кругового движения
сводится к решению системы уравнений (5.3) при граничных условиях (5.4).
$5]
КРУГОВОР ДВИЖЕНИЕ МЕЖДУ БЕСКОНЕЧНЫМИ ЦИЛИНДРАМИ
423
Следуя методу малых колебаний, лримем, что поле возмущений является
периодическим по отношению к координате z и положим:
№
vr = "j cos кгег vf = u.2 cos \ze ,
(5.5)
где множители uv u2 и ий зависят только от одного переменного т.
Подставляя (5.5) в уравнения (5.3) и исключая из них давление поля
возмущений р', получим следующую систему обыкновенных дифференциальных
уравнений:
[LA.(r duA 'h-
[r dr V dr j r"- '
AA(r йаЛ
r dr\ dr )
v d X dr
X'V3 j = 2C1u1,
'%] = 2(Cl+7l)W2------
LL d (rdJh\
L r dr \ dr ) r^ J '
-x
du
где
>+ -+ ^и3 = 0,
dr 1 r 1
A = X2-|- '
(5.6)
0.
При этом граничные условия (5.4) принимают вид:
при r - bwr-a ^ = 0, и2 = 0, и3 Искомую функцию их (г) представим в виде
ряда Фурье
СО
"1 (>¦) =
1
где
(*тО = (^ш7) + ^2NL (kmr)
(5.7)
(5.8) • Бесселя
(5.9) (5.10)
представляет собой цилиндрическую функцию общего вида. Постоянные Л1 и А2
подобраны так, чтобы были выполнены граничные условия для uv т. е.
AiJi(kmb)-i-AMkJ,) = 0,
АА {kma) + A2N1 (kma) = 0.
Таким образом, множители km суть корни уравнения
Л(*"*)
Mknfl) N1 (kma)
= 0.
(5.11)
4^4 УСТОЙЧИВОСТЬ ЛАМИНАРНЫХ течений [гл. ki
На основании теории рядов Фурье - Бесселя коэффициенты ат будут
представляться в виде
а
ат~~Щп [ru^r)zi(kmr)dr> (5.12)
ь
где
а
Hrn~ j rZ\(kmr) dr. ъ
Подставляя (5.9) в первое уравнение (5.6), получим:
ОО
- [Sr+7 ЧГ~ {w+k,i) и] = 2С* 2 ^г)' (5'13)
т=1
Решение уравнения (5.13) без правой части представляет собой
цилиндрическую функцию
Z, (гXV) = Л3Л (ik'r) + AtNt (Ik'г),
где Л3 и Л4- произвольные постоянные.. Решение уравнения (5.13) с правой
частью можно представить в виде ряда
СО
^ 1 тг)•
т=1
коэффициенты которого могут быть определены после подстановки этого ряда
в уравнение (5.12) в виде
ьт = -тРгЬг' <5-14)
N (*m + *'")
Таким образом, для функции и2 мы получим:
ОО
u.2(r) = A3J1(ik'r) + AiN1(tk'r)-\-'Z bMkmr). (5.15)
