Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Слёзкин Н.А. -> "Динамика вязкой несжимаемой жидкости" -> 133

Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.

Слёзкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости — М.: Технико-теоретической литературы, 1955. — 520 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamikavyazkoynesjimaemoyjidkosti1955.pdf
Предыдущая << 1 .. 127 128 129 130 131 132 < 133 > 134 135 136 137 138 139 .. 170 >> Следующая

последующих приближений.
Для построения других независимых решений уравнений (4.3) в
асимптотической форме положим:
Подставляя (4.25) в уравнение (4.3), получим для g нелинейное
дифференциальное уравнение
(w - с) (g^ g/ a2) w" ~
= - 4 te* + + Ч'- + 4gg" + g'" - 2"2 (g* + g') + a*J. (4.26)
г 00 = Vr"R"bOO+sriOO + у=^^2(^)+ ^г8О0+ •••
Собирая коэффициенты при одинаковых степенях параметра aR, получим
последовательность уравнений
С 9 dy
(4.25)
<о - е~
Будем решать это уравнение с помощью следующего ряда:
(w - c)g-2 = - tg\,
(w - с) (go + 2g0g1) = - I (4gog 1 + Sglgo) (w - c) (g[ + g-? + 2 g0g2 -
a2) - w" -
(4.28)
= -г (4^оДо + 6^1 -)- Sgogigo + 3^о 2a go).
418
УСТОЙЧИВОСТЬ ЛАМИНАРНЫХ ТЕЧЕНИЙ
[гл. XI
Решения этих уравнений строятся без всяких квадратур. Первые два решения
представляются в виде
Для отрицательных значений разности w - с будем полагать arg (w - c)=-j-u
или arg(w - с) = - i: в зависимости от обстоятельств.
Обратим внимание на то, что если для уравнения (4.21) точка у = ус в
асимптотическом решении (4.23) была логарифмической, то для решения
(4.29) она будет алгебраической точкой ветвления. Если ограничиться
первыми двумя членами в разложении (4.27), то для второй пары независимых
решений уравнений (4.3) будем иметь:
Таким образом, четыре независимых решения уравнения (4.3) в первом
приближении будут представляться в виде (4.23) и (4.30). Однако эти
решения не могут быть непосредственно использованы, так как не выяснено
поведение этих решений в окрестности точки у = ус и в зависимости от
этого не установлен путь интегрирования в равенствах (4.24) и (4.30). Для
выяснения этих вопросов в работе Лина вводится новое независимое
переменное и новый малый параметр в виде
Представляя решение уравнения (4.3) в виде ряда по степеням нового
параметра
g0 = ±\ft(w - c), )
(4.29)
Для определённости положим:
arg i - arg (w - с) > 0 для w - с > 0.
v
-J Via.lt (w-c) dy
>(8.) = (w - c)e 0
(4.30)
V
cp(i' = (w - с) e v°
w)
y - yc - sYj, e=(eR)-'/*.
(4.31)
? (У) = 7. (Tl) = 7.o ("О) + еУл ("П) + s3y.2 ("П) + • • • (4.32)
и полагаа
г I ft i \
w - с - тгч\ -j- Wc 4^-
1
(4.33)
w" = w" +
Течение между параллельными стенками
419
можно получить следующие четыре независимых решения уравнения
(4.3) в нулевом приближении:
а и -функции Ханкеля.
/ 3 /3
Если воспользоваться асимптотическими выражениями для функций Ханкеля, то
можно показать, что для весьма больших значений параметра aR решения
(4.34) будут совпадать с решениями (4.23) и
(4.30). При этом выбор асимптотических разложений для функций Ханкеля,
подчинённый требованию совпадения решений (4.34) с (4.23) и (4.30),
предопределяет путь интегрирования в равенствах (4.24) и
(4.30). Для этого пути интегрирования должно выполняться неравенство
Далее в работе Лина исследуются различные случаи расположения точки у~ус
на плоскости комплексного переменного у ив связи с этим выясняются
асимптотические представления решений (4.30) и параллельно
рассматриваются случаи, когда можно ограничиться решениями (4.23), не
учитывающими действия сил вязкости. В частности, показывается, что при
расположении точки у = ус ниже действительной оси (с,; < 0) эффектом
вязкости пренебрегать нельзя, как бы ни были велики числа Рейнольдса.
Попутно доказывается ошибочность утверждения, что если <р(,у)_ есть
решение уравнения (4.21) с собственным значением с, то сопряжённая
функция <р (_у) будет представлять второе решение, удовлетворяющее тем же
действительным условиям на действительной оси и имеющее в качестве
собственного
значения с, сопряжённое с первым с.
Чтобы получить какие-либо конкретные заключения о поведении
разграничительной кривой (4.14), необходимо провести ряд упрощений
вековых уравнений (4.16) и (4.18) для больших значений параметра aR.
Проводя эти упрощения, Лин показывает, что разграничительная кривая
(4.14) имеет две асимптоты при R -> оо. Эти две асимптоты сливаются в
одну (а = 0), если профиль скоростей основного
7.о3' = \d^ ( V'r, #у! [|д^о'Оа/з]
(4.34)
СО оо
со оо
где
(4.35)
- j< аггМ< -g-•
(4.36)
42U
УСТОЙЧИВОСТЬ ламинарных течении
(гл. XI
потока не имеет точки перегиба. В результате своих подробных исследований
Лин формулирует правила приближённого подсчёта наименьших значений
критического числа Рейнольдса, за пределами которого может наступить
неустойчивость ламинарного течения в указанном выше смысле. Прежде всего
по заданному профилю распределения скоростей в потоке
и решить его графически относительно ус. Затем необходимо из уравнения
найти соответственное значение с. После этого определяется наименьшее
значение критического числа Рейнольдса: для случая движения между
параллельными стенками по формуле
Для случая ламинарного течения между параллельными стенками
разграничительная кривая (4.14), отделяющая область неустойчивости
(внутри) от области устойчивости, представлена на рис. 100. Минимальное
значение критического числа Рейнольдса для этого случая равно
Предыдущая << 1 .. 127 128 129 130 131 132 < 133 > 134 135 136 137 138 139 .. 170 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed