Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
равно
(RKp)min = 288. (3.65)
Таким образом, при использовании энергетического метода исследования
устойчивости можно придти к выводу, что ламинарное плоско-параллельное
течение с прямолинейным профилем распределения скоростей будет заведомо
устойчивым, если число R не будет превышать значения 288. Следует,
однако, заметить, что полученное с помощью энергетического метода
значение критического числа R намного меньше того значения, которое
получается косвенным путём на основании некоторых опытов. Это значит, что
энергетический метод исследования устойчивости ламинарных течений
412
УСТОЙЧИВОСТЬ ЛАМИНАРНЫХ ТЕЧЕНИЙ
[ГЛ. XI
позволяет определять критическое значение числа Рейнольдса с большим
запасом.
Различие результатов исследований устойчивости ламинарного течения с
прямолинейным профилем распределения скоростей, проведённых по методу
малых колебаний и с помощью энергетического метода, следует, повидимому,
объяснить прежде всего тем, что в первом методе дифференциальные
уравнения поля возмущений линеаризируются, тогда как при энергетическом
методе нелинейные слагаемые в уравнениях учитываются.
§ 4. Об устойчивости ламинарных течений между параллельными стенками и в
пограничном слое
В § 2 было указано, что исследование устойчивости ламинарного плоско-
параллельного течения между параллельными стенками и в пограничном слое
по методу малых колебаний сводится к решению дифференциального уравнения
(2.9) для функции тока Y поля возмущения. Обозначая характерную скорость
течения через U, характерный размер через I, вводя число Рейнольдса
получим из (2.9) следующее дифференциальное уравнение четвёртого порядка
для неизвестной функции <р(.у) поля возмущений:
[w{y) --с] (ср"- а2ср) -w"rs> = - - 2а2ср"-(- я4<р). (4.3)
Составляющпе вектора скорости поля возмущений будут при этом равны:
Для исследования устойчивости ламинарного течения между двумя неподвижным
стенками (у = 0, у - 2h) решение уравнения (4.3) необходимо подчинить
граничным условиям прилипания частиц жидкости к стенкам. В этом случае за
характерную скорость течения U можно взять максимальное значение скорости
(у = h). Тогда распределение скоростей по сечению в безразмерных
параметрах будет
(4.1)
и полагая
x = lx, y = ly, t = u1 = Uw(y), = бЛср (_у)
(4.2)
(4.4)
§ 4]
ТЕЧЕНИЕ МЕЖДУ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ СТЕНКАМИ
413
представляться в виде
1"(у) = йг(у1у-у9),
(4.5)
где
(4.6)
Учитывая равенства (4.4) и (4.6), можно записать условия прилипания
частиц жидкости к стенкам в поле возмущений в виде
Для исследования устойчивости течения в пограничном слое решение
уравнения (4.3) должно проводиться при выполнении условия прилипания к
одной стенке
и при выполнении дополнительного условия на границе слоя, отражающего
собой непрерывный переход решения уравнения (4.3) для вязкой жидкости в
решение соответственного уравнения для идеальной жидкости. Уравнение поля
возмущений для идеальной жидкости мы получим из (4.3), полагая
При этом предельном переходе мы получим из (4.3) уравнение
Чтобы иметь ограниченное решение уравнения (4.9), необходимо постоянную
Ct приравнять нулю. Тогда требование непрерывности перехода решения
уравнения (4.3) в решение уравнения (4.9) на границе
слоя (у=у±) может быть представлено в виде равенств
Отсюда мы получим следующее дополнительное условие, которому необходимо
подчинить решение уравнения (4.3) для случая исследования устойчивости
течения в пограничном слое:
9(0) = 0, <р'(0) = 0,
= <P'(.yi)'. = 0-
(4.7)
ср(О) = 0, 9'(0) = 0
(4.8)
при R-> оо w"(y)~* 0.
<р" - а2ср = 0, общее решение которого представляется в виде
(4.9)
90'i) = Cae-4'1,
9'(й) = -Са"-Й
(4.10)
414
УСТОЙЧИВОСТЬ ЛАМИНАРНЫХ ТЕЧЕНИЙ
[ГЛ. XI
К условиям (4.8) и (4.10) присоединяется условие ограниченности решения
при неограниченном возрастании переменного у, т. е.
Так как w(y) представляет собой аналитическую функцию от у, то четыре
независимых решения уравнения (4.3) будут аналитическими функциями от
переменного у и целыми функциями от трёх входящих в уравнение параметров
a, aR и с. Параметр а представляет собой длину волны возмущения, а
параметр R - число Рейнольдса; оба параметра должны быть действительными.
Параметр же с, связанный со скоростью распространения волны возмущения и
со степенью изменения со временем высоты гребня волны возмущения, может
быть и комплексным, т. е.
Основная идея исследования устойчивости ламинарного течения сводится к
тому, чтобы найти зависимость между этими тремя параметрами a, R и с:
Если эта зависимость будет разрешена относительно параметра с, то после
отделения действительной и мнимой части будут получены равенства
Из равенств (4.4) следует, что исследуемое течение будет устойчивым для
положительных значений с4 и неустойчивым для отрицательных значений с4.
Следовательно, кривая
на плоскости параметров а и R будет разграничивать области устойчивых и
неустойчивых течений. К построению такой разграничительной кривой и
должна сводиться рассматриваемая задача об устойчивости ламинарных
