Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
характеристиками аир поля возмущений. При этом значения R и а считаются
действительными и заранее заданными, а для величины р допускаются
комплексные и подлежащие определению из уравнения (3.19) значения. Как
уже было указано в § 1, для исследования вопроса об устойчивости
рассматриваемого основного течения достаточно только установить знак
мнимой части множителя р из уравнения (3.19). Но и эта ограниченная
задача исследования знака мнимой части р по характеристическому уравнению
(3.19) представляет весьма сложную по своим вычислениям задачу.
Мы ограничимся случаем, когда произведение aR считается малым и когда
представляется возможным цилиндрические функции в (3.11) заменить их
асимптотическими выражениями в своей простейшей форме.
На основании (3.17) и (3.18) будем иметь:
Следовательно, интегралы в (3.12) могут быть взяты по прямой,
параллельной мнимой оси. Но концы отрезку этой прямой г0 и zx могут
располагаться на плоскости комплексного переменного z в различных местах.
От того, в каких четвертях плоскости z будут располагаться точки z0 и zlt
будет зависеть вид асимптотических выражений цилиндрических функций.
Возьмём в качестве цилиндрических функций (3.11) функции Ханкеля, для
которых имеют место следующие асимптотические выражения:
го асимптотические представления (3.21) будут справедливы только для
значений аргумента <р в пределах
z0 - Zi = i(aR)V>.
(3.20)
(3.21)
Если положить:
х = re{f,
В рассматриваемом нами случае (3.11) мы имеем:
Следовательно, на плоскости комплексного переменного z = г
асимптотические формулы (3.21) могут быть использованы для
402 УСТОЙЧИВОСТЬ ЛАМИНАРНЫХ ТЕЧЕНИЙ
начений аргумента в пределах
71 71
3 ^ Т < 3 •
[гл. XI
(3.22)
Будем теперь предполагать, что точки z0 и zx выбраны в области указанных
значений аргумента. Подставляя (3.21) в (3.11), а затем и в (3.12),
получим:
г.
a (*i)=5- j/*!- ]/ 4"'1,и Jv,e< 3 г "sin x -zi)
"0
Si
/"<*,)=?/1/
. 2 3/
- j, - z 'a
3 sinx(z - zt)dz.
(3.23)
В силу детерминантного характера уравнения (3.19) постоянные множители в
(3.23) будут сокращаться, поэтому в дальнейшем мы эти постоянные
выписывать не будем.
Положим
Z=Za
и, считая С малым, примем:
Z-ll*?S3Z-l/t,
z'1* ^.г'М 1
гз/,Л з_Ц.
0 V 2 Zo)
При этих предположениях будем иметь из (3.23):
§ 3] ТЕЧЕНИЕ С ПРЯМОЛИНЕЙНЫМ ПРОФИЛЕМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТЕЙ 403 После
дифференцирования (3.24) получим:
ft "-л
¦м. dzx ~° " z0 - 1?
Г . у. -г (г0-"i) "У2 I [ - iz&'e 0 +
-f zf i cos v. (z0 - zx) + у sin у (z0 - zj],
dfi
f _ ^2 _ --
¦'з- дг", го
-V.
. 2 3/
-гТго_______________________
r. Va *("o-"i)"n9
[гг0 e 0
z0 - у2
- z^2/ cos x (z0 - Zt) -j- * sin у (z0 - zj].
(3.25)
Согласно (3.13) и (3.20) будем иметь:
siny(z0 - Zj) = sin г'у (aR)/з = I sh a, 1 cos у (z0 - Zj) = ch a. J
Подставляя (3.24), (3.25) и (3.26) в левую часть (3.19), получим
характеристическое уравнение в виде
(3.26)
(aR)'2*'2 , ,,
-ъе z0'2 sh а-|-у, ch a
" (aR)'/3*1''2 ,,
-ztfe -)-z0/2ch a-)-ysh с
1/ II
-(aR) '33q2
z'l* sh a x ch a
-(aR)V3^2
- zjf ch a -)-y sh a
После приведения к общему знаменателю характеристическое уравнение примет
вид
. zlt,.
2 - 2ch a ch Zo2(aR)"3-f- ( -I--) sh a sh Zo2(aR)1/3 = 0. (3.27)
\ zL2 * /
Введём новое переменное, полагая
teo1 (a R)1/3 = x,
тогда будем иметь:
i V. / г-,ч'А 1 " , ¦ X X , a , a
sh Zo (aR) sh a = - 4i sin -к- cos sh ch
(3.28)
2 - 2 ch a ch zfr (aR)I/3 = 4 ^sin2
X , a X ,
ych y-cosy sh 2
и характеристическое уравнение представится в виде
j -1"2 7 + (i- 4) f "Ч] = 0. (3.29)
cos2 уch2-
Таким образом, для случая малых значений aR и при использовании
асимптотических выражений (3.21) решение вопроса об устойчивости
прямолинейно-параллельного течения с прямолинейным профилем распределения
скоростей сводится к исследованию корней характеристического уравнения
(3.29).
404
УСТОЙЧИВОСТЬ ЛАМИНАРНЫХ ТЕЧЕНИЙ
[гл. XI
Первый множитель в левой части уравнения (3.29) нельзя приравнять нулю,
так как при значении х = тг квадратная скобка будет обращаться в
бесконечность. Выражение в квадратной скобке (3.29) в свою очередь
состоит из двух отдельных множителей; приравнивая нулю эти множители,
получим уравнения
Таким образом, корню х = ш будет отвечать стационарное поле возмущений,
амплитуды волн которого со временем не будут изменяться, и,
следовательно, вопрос об устойчивости основного течения не может быть
решён.
Известным графическим методом можно убедиться в том, что оба уравнения
(3.30) для каждого фиксированного значения а будут иметь бесчисленное
множество действительных корней. Так-* как из (3.17) и (3.28) будем
иметь:
то каждому действительному корню х будет отвечать чисто мнимое значение р
с положительным коэффициентом при I. Следовательно, амплитуда волн поля
возмущений, отвечающих действительным корням уравнений (3.30), будет со
временем уменьшаться, а поэтому основное поле ламинарного течения с
прямолинейным профилем распределения скоростей будет устойчивым по
