Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
исследованиях, рассмотренных в предыдущих параграфах, возмущения
накладывались на всё течение в целом. В этом и заключаются расхождения
между подходами в теории и в экспериментах. Поэтому всякая попытка
приблизить подход в теории по вопросу об устойчивости ламинарного течения
жидкости к тому подходу, который использовался в ряде экспериментов,
может представлять известный интерес.
Рассмотрим движение частицы, введённой каким-либо образом в поток вязкой
жидкости. Чтобы составить дифференциальные уравнения движения такой
частицы, необходимо учесть, по возможности, все основные силы воздействия
на частицу со стороны окружающей жидкости, находящейся в движении. Будем
эти силы, относить к единице объёма оассматриваемой частицы. К основным
силам следует Отнести, во-первых, силу веса за вычетом статической силы
Архимеда
p = -g(Pi-~P)j> (6.1)
где - плотность частицы, a j-единичный вектор вертикальной оси у. Во-
вторых, силу сопротивления, пропорциональную в первом
УСТОЙЧИВОСТЬ ЛАМИНАРНЫХ ТЕЧЕНИЙ
[ГЛ. XI
приближении разности скоростей частицы и местной скорости потока
P1 = -k1(V- U), (6.2)
где V-вектор скорости частицы, U - вектор местной скорости
потока и kx - коэффициент сопротивления, который для
шаровой
частицы радиуса а будет равен
*1=15- (б-з)
Помимо этих двух сил, необходимо учесть и боковую силу. Дело в том, что
благодаря непрерывному распределению вихрей в ламинарном потоке
относительное обтекание потоком частицы будет всегда циркуляционным и,
следовательно, всегда будет возникать боковая сила, пропорциональная по
теореме Н. Е. Жуковского относительной скорости набегающего потока и
циркуляции. При обтекании плоскопараллельным потоком круглого цилиндра
длины I полная подъёмная сила представляется в виде
рГ VI,
а подъёмная сила, приходящаяся на единицу объёма цилиндра, будет равна
где Г - циркуляция, V-скорость потока на достаточном удалении и S -
площадь сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной к его образующей.
При применении этой теоремы Жуковского к обтеканию частицы мы принимаем
за скорость набегающего потока разность скоростей U-V, за вектор
присоединённого вихря - вектор вихря рассматриваемого потока rot U, за AS
- сечение частицы той плоскостью, которая перпендикулярна к плоскости
векторов U- V и rot U, и, наконец, за величину циркуляции по контуру
сечения AS мы можем принять согласно теореме Стокса поток вектора вихря
через AS, т. е.
Г = | rot U | sin [(?/- vT"ot U\ AS.
Таким образом, боковую силу, приходящуюся на единицу объёма частицы,
можно представить в виде
/>,= &*(?/-V)X rot I/, (6.4)
где - безразмерный коэффициент, с помощью которого можно приближённо
учесть необходимые поправки на те допущения, которые связаны с
распространением теоремы Жуковского, применимой к плоско-параллельному
обтеканию бесконечного цилиндра, на рассматриваемый случай
пространственного обтекания частицы произвольной формы. Если к тому же
учесть, что формула Жуковского о подъёмной силе оправдывается
экспериментально при малых углах
§ б] ОБ Устойчивости ДВИЖЕНИЯ ВЗВЕШЕННОЙ ЧАСТИЦЫ 429
атаки обтекания продолговатых тел, а во всех других случаях эта подъёмная
сила фактически оказывается меньше, чем по формуле Жуковского, то
введённый коэффициент k2 будет всегда меньше единицы.
Введённые силы (6.2) и (6.3) зависят от разностей скоростей частицы и
потока в том месте, где частица находится, и они обращаются в нуль, если
относительная скорость обращается в нуль. Однако нельзя думать, что в
этом последнем случае рассматриваемая частица будет лишена всякого
воздействия со стороны прилегающих частиц жидкости основного потока. Во
всяком случае, воздействие окружающих частиц с помощью давления,
представляющего собой результат молекулярных движений, должно сохраниться
и при отсутствии относительной скорости движения частицы. Это воздействие
!на единицу объёма частиц со стороны поля давлений основного потока будет
представляться в виде
grad/?
(6.5)
и оно будет зависеть только от положения частицы в потоке, а не от
разности скоростей частицы и потока. В силу последнего обстоятельства
можно полагать, что это воздействие поля давлений на частицу должно
учитываться и при относительном движении частицы, в особенности в тех
случаях, когда это воздействие поля давлений не отражено в воздействиях
сил (6.2) и (6.4).
Таким образом, векторное уравнение движения посторонней частицы в потоке
жидкости будет представляться в виде
(6.6)
dV
Pl rff - Р + Р1 + Р% + ^8
Рассмотрим случай ламинарного течения между параллельными стенками с
прямолинейным распределением скоростей по сечению, для которого
Uy
и.
rot и .
h
i,
(6.7)
В этом случае давление в основном потоке постоянно, т. е. grad р = 0.
Проектируя уравнение (6.6) на оси координат и используя равенства
(6.1), (6.2), (6.4) и (6.7), получим:
Pl dt
dVy _
Pl dt
dVa
Pl dt
dy _
dt
v"
V,
у
(6.8)
430 УСТОЙЧИВОСТЬ ЛАМИНАРНЫХ ТЕЧЕНИЙ [гл. XI
Если частица будет иметь плотность, одинаковую с плотностью жидкости, т.
