Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Слёзкин Н.А. -> "Динамика вязкой несжимаемой жидкости" -> 135

Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.

Слёзкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости — М.: Технико-теоретической литературы, 1955. — 520 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamikavyazkoynesjimaemoyjidkosti1955.pdf
Предыдущая << 1 .. 129 130 131 132 133 134 < 135 > 136 137 138 139 140 141 .. 170 >> Следующая

m - 1
Так как функция (5.10) обращается в нуль на границах, то для
удовлетворения граничных условий (5.8) для и2 постоянные Л3 и Л4
необходимо положить равными нулю.
Обратимся теперь к уравнению (5.6) для иа. На основании рекуррентных
формул имеем:
±-?rZ0(kr) = - Z1(kr).
Уравнению для и3 без правой части
d Г d2uS 1 1 du3
dr l dr2 ' r dr 3
= 0
§ б] КРУГОВОЕ ДВИЖЕНИЕ МЕЖДУ БЕСКОНЕЧНЫМИ ЦИЛИНДРАМИ 425
можно удовлетворить, полагая
Ч - "Ь ^0^0 (^'Г) "Ь ^1^0 Г)¦
Следовательно, общее решение второго уравнения (5.6) можно искать в виде
СО
Ч (г) = Лб + AqJ0 (tl'r) + A,N0 (ik'r) + 2 dmZ0 (kmr). (5.16)
m-1
Подставляя (5.16), (5.15) и (5.9) во второе уравнение (5.6), получим
следующее уравнение для определения постоянных dm:
со оо
2 йш ПГ (*'* + *") (ЬтГ) = S V (+ k*m) в**' {к(tm)Г) +
1""1 ш - 1
+г (с, +&) | z'ik~r)- (5Л7)
ш = 1
Подставляя (5.16) и (5.9) в третье уравнение (5.6) и учитывая
рекуррентное соотношение
z[(x) = Z0(x) -
получим:
2 (kmam 4" ^m)Z0(kmr)-\-K (Л5-{-Л6./0(А'г) 4-Л7ЛфА/г)) = 0. (5.18) "•=1
К уравнениям (5.17) и (5.18) необходимо присоединить два уравнения,
которые мы можем получить, удовлетворяя выражением (5.16) граничным
условиям (5.8) для ий(г).
Дальнейшие вычисления, проведённые в работе Тэйлора *), приводят к
бесконечной однородной системе уравнений для постоянных Л6, Л7 и ат.
Приравнивая нулю определитель этой системы уравнений, получим
характеристическое или вековое уравнение, связывающее величины р и Л'=
]/" л2 + -^с заданными параметрами задачи ш7, ш2, Ь и а. Подробный анализ
этого уравнения проводится в цитированной работе Тэйлора в предположении,
что разность
, " а -4- Ь
радиусов цилиндров а - b мала по сравнению с полусуммой -^-.
На основании этого анализа получается, что если цилиндры вращаются в одну
сторону, то круговое движение жидкости будет всегда •устойчивым' при
выполнении следующего неравенства:
< ш2а2. (5.19)
г) Taylor О., Proc, Roy. Soc. (А), т. 223, 1923,
426
УСТОЙЧИВОСТЬ ЛАМИНАРНЫХ ТЕЧЕНИЙ
[ГЛ, XI
В работе Сайнджа 1) показано, что критерий устойчивости (5.19) можно
доказать и не прибегая к предположению о малости разности радиусов
цилиндров по сравнению с их полусуммой.
Если же неравенство (5.19) не выполняется, т. е. если
или если концентрические цилиндры вращаются в разные стороны, то круговое
движение частиц вязкой жидкости теряет свою устойчивость, как только
число Рейнольдса (относящееся, например, к внеш-
__ о)р \
нему цилиндру, т. е. R- --1 превысит своё критическое значение,
достаточно близкое к значению, установленному из экспериментов.
-250 -200 450 -100 -50 О 50 100 150 200
Рис. 102.
На рис. 102 представлена кривая, отделяющая область устойчивости
кругового движения от области неустойчивости, подсчитанная в работе
Тэйлора для случая, когда b = 3,55 см и а = 4,035 см, так что
^ 1,292. По горизонтальной оси отложены значения -, а по вер-
тикальной - -.
V '
Если внешний цилиндр находится в покое, а внутренний вращается или оба
цилиндра вращаются в одну сторону, то появление неустойчивости
характеризуется образованием ряда вихрей в плоскости меридионального
сечения, заполняющих всё пространство между поверхностями цилиндров, при
этом направления вращений этих вихрей чередуются. Такое образование
вихрей хорошо подтверждается экспериментально. Окрашенная жидкость,
первоначально распределённая
i) Synge J., Proc. Roy. Soc. (A), London, т. 167, 1938,
§ 6] ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ ВЗВЕШЕННОЙ ЧАСТИЦЫ 427
в виде тонкого слоя по поверхности внутреннего цилиндра, впоследствии
свёртывается в виде чередующихся колец, охватывающих центры вихрей.
Если цилиндры вращаются в разные стороны, то неустойчивость кругового
движения жидкости проявляется в образовании двух рядов вихрей, из которых
один, имеющий большую интенсивность, располагается вблизи внутреннего
цилиндра, а второй - с меньшей интенсивностью- вблизи внешнего. В опытах
окрашенная жидкость собиралась только вокруг вихрей с большей
интенсивностью, а в области, примыкающей к внешнему цилиндру, вода
оставалась прозрачной.
Места расположения центров вихрей, установленные на основании вычислений,
очень хорошо подтверждены опытами; отклонения вычисленных значений
критического числа Рейнольдса от соответственных опытных значений не
превышают 2°/0.
§ 6. Об устойчивости движения взвешенной частицы в ламинарном потоке
Первые экспериментальные исследования Людвига и Гагена, послужившие
основанием для постановки вопроса об устойчивости и неустойчивости
ламинарного движения в цилиндрической трубке, были проведены с помощью
наблюдений над движением примешанных к воде видимых частиц. Такими
частицами в опытах Гагена были опилки тёмного янтаря. В экспериментальных
исследованиях Рейнольдса наблюдения проводились за поведением тонкой
окрашенной струйки, вводимой в поток прозрачной жидкости.
Таким образом, при экспериментальных исследованиях производились лишь
местные возмущения исследуемого ламинарного течения, а при теоретических
Предыдущая << 1 .. 129 130 131 132 133 134 < 135 > 136 137 138 139 140 141 .. 170 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed