Диэлектрики полупроводники, металлы - Слэтер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
272
Гл. 10. Методы Томаса -Ферми и Вигнера - Зейтца
операторов кинетической энергии электронов и потенциальной энергии их в
поле ядер (Za есть заряд ядра в единицах заряда электрона, Г\а -
расстояние первого электрона от а-го ядра). Затем в уравнении (10.6)
следует выражение для энергии куло-новского взаимодействия между i-м
электроном и всеми остальными, включая его самого (поскольку суммирование
по / включает случай } = i). Последний член в левой части (10.6) выражает
обменное взаимодействие.
В случае свободных электронов, когда функции и{ и Uj имеют вид плоских
волн, обменный член в уравнении (10.6) можно
вычислить явно. Его удается записать в виде произведения функции ц,-( 1)
на обменную потенциальную энергию, причем последняя определяется
соотношением
Обменная потенциальная энергия=
Здесь, как и раньше, N/v есть число электронов в единице объема, а
величина т] определяется выражением
т]=^, (10.8)
№макс
где к - волновой вектор, принадлежащий волновой функции щ в уравнении
(10.6), а ?макс - значение величины |к| на уровне Ферми. Последнее можно
найти из соотношения (1.12), полагая
где m - масса электрона; формула (10.9) дает кинетическую энергию
свободного электрона. Наконец, функция F{т]) имеет вид
/rW = y+1^lnT^-- (10Л°)
ее график показан на фиг. 10.1. Отметим, что Е(т]) принимает значения от
единицы при т] = 0 (что отвечает нулевой кинетической энергии электрона)
до '/г при т] = 1 (что соответствует поверхности Ферми).
Мы видим, таким образом, что обменная энергия зависит от ролнового
вектора (т. е. от энергии) рассматриваемого элек-
зависимость относительной обменной энергии газа свободных электронов от
параметра (отношения импульса электрона к фермиевскому импульсу).
$ 2. Обменная поправка в методе Томаса - Ферми
273
трона. Чтобы включить обменное взаимодействие в схему метода Томаса -
Ферми (получив то, что принято называть методом Томаса - Ферми - Дирака
или сокращенно ТФД), мы поступим следующим образом. Как и при
формулировке метода Томаса - Ферми, примем энергию Ферми за нуль;
потенциальная энергия в поле всех электронов будет равна -eV. Однако в
действительности к значению потенциальной энергии электрона на
поверхности Ферми следует добавить обменную поправку. Последнюю, как мы
только что видели, можно найти, полагая F(r\)= '/2. Таким образом, имеем
h1 ( 3 лм*/.' /з N\h_
2m \8л в] V 4лв0 \8л в) (10.11)
Мы получили квадратное уравнение относительно величины [(3/8л) (N/v)]'!i.
Его решение имеет вид
( 3 ЛМ'Л 1 Г т/ I -4тае4 , 2mes 1 . оч
1ктг) 2ие1,+^да-+W-J- <10-12>
причем мы должны выбрать знак плюс. Найденное отсюда значение N/v нужно
подставить в уравнение Пуассона
W = (10.13)
Таким образом, окончательно получаем следующее уравнение Томаса - Ферми -
Дирака:
Если опустить здесь слагаемое 2те2/(4яео)/г и его квадрат, то уравнение
(10.14) сведется к уравнению Томаса - Ферми (10.4). Уравнение (10.14)
было использовано, например, в упомянутых выше расчетах Слэтера и
Краттера [18].
Рассмотрим теперь выражение для полной энергии и покажем, что уравнение
(10.14) можно получить из него с помощью вариационного метода; это
впервые было сделано в работах [*¦ 10J. Представим энергию в виде
интеграла по объему от энергии, приходящейся на один электрон, умноженной
на объемную плотность электронов N/v. Как уже упоминалось, средняя
кинетическая энергия, приходящаяся на один электрон, составляет a/s
энергии Ферми ЕР, формула (1.12) дает энергию Ферми как функцию, от N/v.
Потенциальная энергия электронов в поле ядер равна
-1О*""
18 Дж. Слэтер
274
Гл. 10. Методы Томаса - Ферми и Вигнера - Зейтца
где N(\)/v- плотность электронов в точке 1, в которой вычисляется
потенциальная энергия взаимодействия электронов с ядрами. Потенциальная
энергия взаимодействия между электронами составляет
(10.16)
где множитель 1/2 введен для того, чтобы не считать одну и ту же пару
электронов дважды.
Для вычисления энергии обменного взаимодействия нужно прежде всего
усреднить выражение (Ю.7) по распределению Ферми. Это соответствует
среднему значению функции /Дт]), равному 3U. Обменную поправку нужно
вычесть из входящего в (10.16) члена
"LfJLfiL-L*,,,
4ле0 J v г12
который представляет собой потенциальную энергию всех электронов (включая
и рассматриваемый) в точке 1. Поэтому при вычислении обменной
потенциальной энергии необходимо ввести тот же множитель '/г, что и в
(10.16). Таким образом, для обменной потенциальной энергии в результате
получаем
е2 ЗГ/З N VI, N , е2 3 / 3 \'h Г (N VU . /1П1,Ч
4пе0 2 J ( 8л о ) в 4ле0 2 [ 8л ) J [ в) dv' (10-17)
Полная энергия равна
3 А2 ( 3 у/> Г ( N\'h ^ е2 Г V Za N(\) ,
5 2m \8л j J \ в j 4ite0 J в Vl +
a
+ E 4
Пары a, b
Это выражение для энергии и было использовано в цитированных выше работах
[5_7-10'18]. Первое слагаемое здесь описывает кинетическую энергию,
второе - энергию взаимодействия электронов с ядрами, третье - кулоновское
взаимодействие между электронами (включая взаимодействие каждого
