Диэлектрики полупроводники, металлы - Слэтер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
максимальная кинетическая энергия электрона. В рассматриваемом случае
следует считать, что максимальная кинетическая энергия в сумме с
потенциальной энергией (-eV) составляет энергию Ферми (равную нулю), так
что максимальная кинетическая энергия равна eV. Другими словами, мы
предполагаем, что плотность заряда связана с потенциалом соотношением,
вытекающим из (10.2):
р= -еузт(2 meVY'1(Ю.З)
Эта величина есть плотность заряда электронов; кроме нее, имеется еще
заряд ядер.
Наложим теперь условие самосогласования: электростатический потенциал V
должен определяться из уравнения Пуассона, в которое входят плотность
заряда электронов р, определяемая
268
Гл. 10. Методы Томаса - Ферми и Вигнера - Зейтца
соотношением (10.3), и плотность заряда ядер. В системе единиц МКС, где
имеем
(Ю.4)
Это уравнение справедливо всюду, кроме точек, в которых находятся ядра;
последним отвечают сингулярности потенциала V. В гауссовой системе единиц
множителя 4лео в знаменателе не будет. Соотношение (10.4) представляет
собой дифференциальное уравнение для потенциала, основанное на
предположении о самосогласованном характере поля и на допущении, что
распределение Ферми (строго говоря, применимое только в случае газа
свободных электронов) справедливо в каждой точке пространства и при
наличии потенциального поля, зависящего от координат. Задача состоит в
решении уравнения (10.4) с граничными условиями, зависящими от характера
рассматриваемой задачи. В случае изолированного атома потенциал V
сферически симметричен; при достаточно малых значениях г он сводится к
потенциалу атомного ядра, а на бесконечности стремится к нулю. Этот
случай рассматривается, например, в книге ['].
Одно из первых приложений метода Томаса - Ферми к теории твердого тела
принадлежит Ленцу и Иенсену [5' Д, дальнейшие исследования на эту тему
отражены в статьях [8~14]. В работе [5] были выдвинуты некоторые исходные
идеи, примененные в [в> 7] к случаю ионного кристалла со структурой
хлористого натрия. Поскольку статистический метод лучше всего должен
подходить для атома со многими электронами, в первой своей работе Иенсен
рассмотрел кристалл RbBr, однако в последующих работах он изучал и другие
щелочногалоидные кристаллы. Ленц показал, что уравнение Томаса - Ферми
можно вывести из вариационного принципа, а Иенсен представил функции,
описывающие плотности положительных ¦ и отрицательных ионов, в виде,
удобном для применений. Мы изложим этот вариационный метод в следующем
параграфе. Далее Иенсен рассмотрел задачу о взаимодействии ионов в
кристалле, использовав, разумеется, результаты работы Маделунга
относительно потенциала ионной решетки (см. предыдущую главу).
Исследуя полную энергию кристалла, Иенсен нашел ее зависимость от
межатомного расстояния. При этом он сначала считал ионы жесткими, с
неизменной плотностью заряда, а за-
§ 1. Метод Томаса - Ферми в теории твердого тела
269
тем учел их взаимную поляризацию. В этом приближении вычисление полной
энергии не представляет труда. Плотность заряда для данного элемента
объема можно определить из соотношения (10.3), а потенциал - решая
уравнение (10.4). Затем можно найти потенциальную энергию заряда,
заключенного в этом элементе объема, и потенциальную энергию ядра в поле
электронов и других ядер. Что касается кинетической энергии, то
предполагается, что в данной точке пространства она такая же, как и в
ферми-газе с той же максимальной кинетической энергией. Легко показать,
что при абсолютном нуле температуры средняя кинетическая энергия
электронов ферми-газа составляет 3/5 энергии Ферми (мы положили сейчас
потенциальную энергию равной нулю, что позволило легко найти их
кинетическую энергию). В работах[6'7] было показано, что полная энергия
имеет минимум при расстоянии между ядрами, близком к наблюдаемому в
реальном кристалле.
Упомянутые выше авторы исследовали не только полную энергию, но и
кинетическую и потенциальную энергии в отдельности (их, конечно, нетрудно
было вычислить). Известно [15~17], что в приближении Томаса - Ферми
кинетическая и потенциальная энергии удовлетворяют теореме вириала. В
приложении 6 мы покажем, что для твердого тела, находящегося под
гидростатическим давлением, теорема вириала принимает виД
1 3
Кинетическая энергия = - у (Потенциальная энергия) + у ро, (10.5)
где р - давление, v - объем. Это соотношение имеет тот же вид, что и в
теории модекул [']. Как и в последнем случае, при бесконечно большом
межатомном расстоянии, а также при его равновесном значении, когда
давление равно нулю, кинетическая энергия равна потенциальной, умноженной
на -'/г- Поэтому уменьшение полной энергии при построении кристалла из
атомов или ионов складывается из уменьшения потенциальной энергии и
увеличения кинетической. (Первое вдвое больше уменьшения полной энергии,
а второе по величине равно последнему.) Общий характер зависимости
кинетической и потенциальной энергий от объема - такой же, как и в
