Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
= Суфг. Величины qi и ф; будут иметь одинаковые знаки, а потому должно быть Сц > 0.
Теперь заземлим все проводники, за исключением ('-го и /-го, t-му проводнику сообщим положительный заряд q„ а /-й проводник оставим незаряженным. Тогда потенциалы фг и фу будут положительны, причем qj = 0 = Cji^i + Cjj ф,- = 0. Это равенство может соблюдаться только при условии Cji < 0.
п
Покажем, наконец, что ^ Для этого предположим, что (-й проводник,
/= 1
которому сообщен положительный заряду, окружен со всех сторон заземленной замкнутой проводящей оболочкой произвольной формы (рис. 83). По теореме Фарадея на оболочке индуцируется отрицательный заряд q' = —q^ Удалим в бесконечность некоторые части оболочки, чтобы из оставшихся частей образовалось п — 1 заземленных проводников с зарядами qi} q,, ..., ді_1: <7j+1, ..., qn. Сумма этих зарядов по абсолютной величине будет меньше qС учетом знаков можно написать
П
У1 <7/ Зг 0. Подставив сюда qj — Сдф; и приняв во внимание, что ф; >0, получим /— 1
требуемый результат.
ЗАДАЧИ
1. К положительно заряженному уединенному проводнику подносится незаряженный изолированный проводник. Показать, что при этом потенциалы обоих проводников будут увеличиваться, а разность потенциалов между ними — уменьшаться. Рассмотреть также случай, когда первый проводник был заряжен отрицательно.
2. Проводник заряжается от электрофора путем повторяющихся поднесений к пластинке, которая после каждого поднесения снова заряжается от того же электрофора до заряда Q. Пусть qx — заряд на проводнике после первой операции. Определить заряд q на проводнике после очень большого числа операций.
Решение. При ноднесении проводника к пластипке общий заряд в определенном отношении распределяется между этими телами. При первом поднесении
(27.6)
112 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ [ГЛ. I
проводник получает заряд дъ на пластинке остается Q — Если операция зарядки повторена многократно, то при последующих соприкосновениях проводника с пластинкой его заряд практически уже меняться не будет. Заряд пластинки также не будет меняться и будет равен Q, поскольку пластинка заряжается от электрофора. Искомый заряд q определится из пропорции
Я _ Qi
Q Q—Яі'
3. Три одинаковых изолированных металлических шара расположены в вершинах равностороннего треугольника. Проволочкой, подключенной к удаленному заряженному проводнику, потенциал которого неизвестен, но поддерживается постоянным, по очереди касаются каждого из шаров. Заряды на первых двух шарах оказались после этого равными qt и q%. Найти заряд на третьем шаре
Решение. В силу симметрии имеем Vn — = Кзз = A, V'u =
= ^ai = V23 = В. При зарядке первого шара он получает потенциал cpi = AgL. При зарядке остальных двух шаров потенциал первого шара меняется, но его значения для решения не нужны. При зарядке второго шара его потенциал становится равным также = Aq2 -f- Bqt. Аналогично для третьего шара: = Ад3 -f- В (qt + q2). Таким образом,
^Яі — Aqi-^BqL = Aq-j\-B(qL-jrq-1).
Отсюда
4. Четыре одинаковых изолированных металлических шара расположены в вершинах правильного тетраэдра. Проволочкой, подключенной к удаленному заряженному проводнику, потенциал которого неизвестен, но поддерживается постоянным, по очереди касаются каждого из шаров. Заряды на первых двух шарах оказались после этого равными qt и q2. Найти заряды на двух остальных шарах.
Ответ. <7з = ql/ih, <?4 = qi/q'l
§ 28. Электрическая энергия
1. Электрическая энергия, как и всякая другая энергия, зависит только от состояния системы, но не зависит от способа, каким система была приведена в это состояние. Вычислим сначала электрическую энергию заряженного конденсатора. Она однозначно определяется зарядами его обкладок или разностью потенциалов между ними. Способ зарядки на величину энергии не влияет. Применим такой способ зарядки, чтобы вычисления были максимально просты. Если конденсатор не заряжен, то на каждой из его обкладок имеется смесь одинаковых количеств положительного и отрицательного электричеств. Будем переносить положительное электричество бесконечно малыми порциями dq с отрицательной обкладки па положительную. Для переноса заряда dq необходимо совершить работу против электрического поля:
бЛгл,еш = ср^,
где ср — мгновенное значение разности потенциалов между обкладками. Работа самого конденсатора будет такой же по величине,
ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ
113
но противоположной по знаку;
6Л = — ф dq. (28.1)
Зарядка конденсатора может сопровождаться выделением или поглощением тепла, а также изменением плотности диэлектрика. Однако в большинстве случаев эти эффекты незначительны, и мы временно оставим их без внимания. Тогда работа 6Лвнеш целиком пойдет на увеличение электрической энергии конденсатора W, т. е.
dW = 4>dq = q-p-. (28.2)
Если, как мы предположили, температура и плотность диэлектрика при зарядке не изменяются, то не будет изменяться также диэлектрическая проницаемость е, а с ней и емкость конденсатора С. Поэтому интегрированием предыдущего выражения находим
^ = 2С = Т«Ч> = |Сф,1 (28.3)
2. Проведем теперь вычисление электрической энергии в общем виде. Рассмотрим несколько тел с зарядами qu q2, ... и потенциалами фь ф2, ..., пространство между которыми заполнено неподвижным диэлектриком (однородным или неоднородным). Под qlt q2,... здесь следует понимать только свободные, а не поляризационные заряды. Тела, на которых они находятся, могут быть как проводниками, так и диэлектриками. Проводники могут быть любых размеров. Размеры диэлектрических тел должны быть настолько малы, чтобы потенциал каждого тела мог с достаточной точностью считаться одинаковым во всех его точках. Этого всегда можно достигнуть, мысленно разделяя диэлектрик на достаточно малые части и считая каждую из них за отдельное диэлектрическое тело. Примем за начальное такое состояние, в котором все тела не заряжены. Будем переносить электричество из бесконечности на эти тела бесконечно малыми порциями. Рассуждая так же, как в случае конденсатора, найдем
