Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
(29.7)
или
(29.8)
§301
ВЗАИМНАЯ ЭНЕРГИЯ ТОЧЕЧНЫХ ЗАРЯДОВ
119
5. Заметим в заключение, что математическая эквивалентность выражений
(29.4) и (29.6) для статических полей может быть использована для доказательства единственности решения электростатической задачи, сформулированной в пункте 1 § 22. Действительно, предположим, что задача допускает несколько решений. Возьмем два из них: 1) ?х = — grad <рх, Dх = є?х; 2) ?2 = —grad ф2, и2 = е?2. По теореме Гаусса div D\ = 4лр1; div D2 — 4л р2, причем рх = р2, так как по условию задачи плотность свободного электричества в диэлектрике задана. Таким образом, div Di = div D2. Рассмотрим теперь разность обоих решений: ? = ?х — ?2, D = Di — D2, ф = фі — ф2. Очевидно, div D = 0, ? = —grad ф, D = е?, т. е. векторы ? и D удовлетворяют уравнениям электростатики, а потому представляют какое-то электростатическое поле. Ввиду эквивалентности формул (29.4), (29.6) можно написать
§^к=НфМК+іНфа^'
Первый интеграл справа равен нулю, так как р = 0. Поверхностный интеграл достаточно взять только по поверхностям проводников, так как на всякой поверхности, проходящей в диэлектрике, а = ах — а2 = 0. Поскольку потенциал каждого проводника ф'*' постоянен, то поверхностный интеграл можно представить в виде
^ фай5 = ^ф<‘| о dS = '^rpl‘>gu,t
і sm
где q[i) = —q(i' — полный заряд (-го проводника. Если задан потенциал
i-го проводника, то ф<1) = 0, а если задан его заряд, то q;i} = 0. В обоих случаях фіп^іл = q Хаким образом,
S ‘sdv-°-
Ввиду положительности є отсюда следует, что Е2 = 0. Следовательно, Е = se Е1 — ?2 = 0, что и доказывает единственность решения электростатической задачи.
ЗАДАЧИ
1. Вычислить электрическую энергию шара радиуса а в вакууме, если заряд шара q равномерно распределен по его поверхности.
Ответ.
W = qV(2a). (29.9)
2. То же для шара, заряд которого равномерно распределен по его объему. Ответ.
W=3q*/(ba). (29.10)
§ 30. Взаимная энергия точечных зарядов
1. Пусть точечные заряды qr и q2 находятся в вакууме на бесконечном расстоянии друг от друга. Чтобы их сблизить до расстояния г12, надо затратить работу qiq2lr12. Потенциальная энергия взаимодействия зарядов будет
и Шг /ЧП 1\
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
|.ГЛ. I
Для нескольких точечных зарядов
(30.2)
іф-k
Коэффициент 1/2 поставлен потому, что при суммировании потенциальная энергия каждой пары зарядов учитывается дважды: в виде слагаемого ад*//-** и в виде равного ему слагаемого Формулу (30.2) можно представить в виде
где <рі — потенциал в точке нахождения і-го заряда, создаваемый всеми остальными зарядами:
2. По внешнему виду формула (30.3) совпадает с аналогичной формулой (28.4) для электрической энергии заряженных проводников. На самом деле между обеими формулами имеется глубокое различие. Это видно уже из того, что выражение (28.4) может быть преобразовано в объемный интеграл (29.4), который всегда положителен. Выражение (30.3) не допускает такого преобразования, так как оно может быть и положительным и отрицательным. Например, оно отрицательно для двух точечных зарядов противоположных знаков. Каждый заряд qt, взятый в отдельности, обладает электрической энергией. Она называется собственной энергией заряда qt и представляет собой энергию взаимного отталкивания бесконечно малых частей, на которые его можно мысленно разбить. Эта энергия учитывалась при выводе формулы (28.4), но не учитывалась при выводе формулы (30.3). При получении формулы (30.3) каждый заряду рассматривался как нечто целое и неизменное. Учитывалась только работа, затрачиваемая на сближение таких неизменных зарядов, но не на их образование. Напротив, при выводе формулы
(28.4) учитывалась также работа, затрачиваемая на образование зарядов qt путем конденсации их из бесконечно малых порций электричества, переносимых из бесконечности. В соответствии с этим формула (28.4) определяет полную электрическую энергию системы зарядов, а формула (30.3) — только их взаимную потенциальную энергию. В формуле (28.4) срг означает потенциал проводника, создаваемый всеми зарядами, а в формуле (30.3) — вбеми зарядами, за исключением і-го.
3. Для лучшего уяснения вопроса рассмотрим два бесконечно малых шарика неизменных размеров. Пусть сначала шарики не заряжены, бесконечно далеко находятся друг от друга, а электричество распределено по всему бесконечному пространству с беско-
(30.3)
(30.4)
ТЕРМОДИНАМИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ
121
нечно малой плотностью. Соберем все электричество на шариках. Так как расстояние между ними бесконечно велико, то они не будут оказывать никакого влияния друг на друга. Вся работа пойдет на увеличение собственных энергий шариков. Эти энергии будут равны соответственно
Затем заряженные шарики сблизим, для чего потребуется собер-шить работу U = (расстояние между шариками г13 должно
быть очень велико по сравнению с их размерами). Полная электрическая энергия шариков будет
^=ЕЙ‘,1, + бН«‘'1,+и-
Но ту же энергию можно выразить иначе. Пока шарики не заряжены, сблизим их до расстояния г12, а затем будем собирать на них электричество. Потребуется работа
