Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Ф' (X) = А [(а2 + Я) (fc2 + К) (с2 + Я)]” ’Л,
где А — постоянная интегрирования. Интегрируя вторично и принимая за нуль потенциал бесконечно удаленной точки, находим
%
Ф (X) = А $ [(да + X) (fc2 + X) (с2 + Я)]- (IX.
СО
Постоянная А определится из условия, что на больших расстояниях функция ф должна переходить в потенциал точечного заряда ф = q/r. При больших X эллин-' соид (25.7) переходит в шар радиуса t — YX, а предыдущий интеграл—в
%
ф(А)=Л ^Я~3/2<ЇЯ= — 2ЛЯ_>А = —
СО
Значит,
СО
*=-§- 5[(а2+я) (ь'+х) (с2+я)г 1/2 л- (25л°)
%
Входящий сюда интеграл является эллиптическим. Если эллипсоид является эллипсоидом вращения, то интегрирование выполняется в элементарных функциях. Для вытянутого эллипсоида вращения (Ь = с)
0 “f“ X /0^ 1 1\
<р — —, ' — ¦ In -------------,— —-¦ ¦. (2o.ll)
Ya-— № ]^а2+Я—Yа- — Ь2
Введем обозначения: Л=Уа2+Я, /=Уа2—fc2. Величина 2Л есть большая
ось эквипотенциального эллипсоида, проходящего через точку наблюдения, а
2/ — расстояние между фокусами рассматриваемого семейства софокуспых эллипсоидов. Выражение (25.11) можно преобразовать к виду
Ф=^!п'4^7- (25,11а)
ЕМКОСТЬ ПРОВОДНИКОВ И КОНДЕНСАТОРОВ
101
Для сплюснутого эллипсоида вращения (а = b)
Ф —arctg (25.12)
Va°-c* Ук+са-
Введем длину малой оси эквипотенциального эллипсоида, проходящего через точку наблюдения: 2В = 2}'гс2-{-Х, а также расстояние между фокусами 2/ = = 2 \га’’- — с". Тогда
<р = у-arctg--. (25.12а)
5. Бесконечно тонкая диэлектрическая палочка равномерно заряжена электричеством с постоянной линейной плотностью. Показать, что эквипотенциальными поверхностями поля такой палочки будут софокусные эллипсоиды, фокусы которых находятся на ее концах.
6. Бесконечно тонкая диэлектрическая пластинка радиуса а заряжена электричеством с поверхностной плотностью
Я
а-=
2па -
где г — расстояние от центра пластинки. Показать, что эквипотенциальными поверхностями поля пластинки будут софокусные сплюснутые эллипсоиды вращения с фокальной линией, расположенной по окружности пластинки.
§ 26. Емкость проводников и конденсаторов
1. Рассмотрим заряженный уединенный проводник, погруженный в неподвижный диэлектрик.Потенциал создаваемого им электрического поля на бесконечности условимся считать равным нулю. Если удвоить заряд проводника, то его потенциал также удвоится. Вообще, между зарядом проводника q и его потенциалом ф существует прямая пропорциональность:
<7 = Сф. (26.1)
Коэффициент С зависит только от размеров и формы проводника, а также от диэлектрической проницаемости окружающего диэлектрика и ее распределения в пространстве. Он называется емкостью уединенного проводника. Например, для шара радиуса а в однородном диэлектрике ф = q/(ea), а потому
С = еа. (26.2)
2. Более важным является понятие емкости конденсатора. ¦ Всякий конденсатор состоит из двух металлических обкладок, отделенных одна от другой слоем диэлектрика. Пусть обкладками конденсатора являются две замкнутые металлические оболочки: наружная и внутренняя, причем внутренняя целиком окружена наружной^ Тогда поле между обкладками совершенно не будет зависеть от внешних электрических полей. Заряды на поверхностях обкладок, обращенных одна к другой, по теореме Фарадея, равны по величине и противоположны по знаку. В реальном кон-
102
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
ІГЛ. I
денсаторе, поскольку его обкладки не являются полностью замкнутыми, это верно только приближенно, хотя и с большой точностью. Практическая независимость внутреннего поля конденсатора от внешнего поля здесь достигается тем, что обкладки располагаются очень близко одна от другой. В этом случае заряды будут почти целиком сосредоточены на внутренних поверхностях обкладок, т. е. поверхностях, обращенных друг к другу. Если q — заряд одной из обкладок (для определенности положительной), а Ф == (фх — ф2) — разность потенциалов между обкладками, то
q = C (Фі — Ф-г). (26.3)
Постоянная С зависит только от размеров и устройства конденсатора. Она называется емкостью конденсатора.
Возьмем два конденсатора. В одном пространство между обкладками заполнено однородным диэлектриком с диэлектрической проницаемостью е, в другом между обкладками — вакуум (такой конденсатор обычно называют воздушным, что не вполне точно). В остальных отношениях оба конденсатора тождественны. При одних и тех же зарядах разность потенциалов между обкладками первого конденсатора будет в е раз меньше, чем между обкладками второго (см. § 22, пункт 3). Следовательно, емкость С конденсатора с диэлектриком будет в е раз больше емкости С0 воздушного конденсатора:
С = еС0. (26.4)
3. Во всякой системе единиц за единицу емкости принимают емкость такого конденсатора, который единичным зарядом заряжается до разности потенциалов, равной единице. В гауссовой и СГСЭ-системах, как это видно из формулы (26.2), единичной емкостью обладает уединенный шарик в вакууме, если радиус его равен 1 см. Размерность емкости в этих системах единиц совпадает с размерностью длины. Поэтому указанная единица емкости называется сантиметром. Практической единицей емкости является фарада. Фарада есть емкость такого конденсатора, который одним кулоном электричества заряжается до разности потенциалов в один вольт. Очевидно,
