Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
с = ТїгЬг (26-7)
Когда зазор между обкладками конденсатора d = b — а мал по сравнению саиб, эта формула, как легко убедиться, переходит в (26.6).
7. Емкость двух параллельных прямых
проволок. Пусть I — длина каждой проволоки, а и b — их радиусы, 2h — расстояние между ними. Предполагая, что * 2h а, 2/г Ь, можно воспользоваться формулой (19.11) и
написать
(Р = — 2<7 In г^ігі) + 2q In г,/(еі) + const,
106
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
1ГЛ. I
где гх и г2 — расстояния точки наблюдения от осей проволок. Полагая сначала г1 = а, гг = 2h, а затем ry = 2fr, г2 = Ь, находим потенциалы проволок ф1( ф2 и разность потенциалов — ф2. В результате получаем для емкости формулу
Е/ (26.8)
2 In
В частности, при а = b
4/ta
аб
г1
' 4 In (2/і/а) '
(26.9)
Из последней формулы методом зеркальных изображений легко получить выражение для емкости цилиндрической прямой проволоки, подвешенной над заземленной бесконечной проводящей
f/f/T
Рис. 78.
+
+
+
+ -
С, і 1 + ** ? і f
+ -
Ъ Гг ?г ?3
Рис. 79.
плоскостью (телеграфный провод над земной поверхностью). Если проволока параллельна плоскости, а расстояние между ними равно h, то емкость будет
(26.10)
г1
2 In (2 h/a)
т. е. вдвое больше, чем в предыдущем случае.
8. Конденсаторы часто соединяют в батареи. Соединение может быть параллельным (рис. 78) или последовательным (рис. 79). Применяют также комбинированное соединение. Ограничимся ради простоты случаем двух конденсаторов. При параллельном соединении разности потенциалов между обкладками обоих конденсаторов одинаковы, а заряды обкладок складываются: q — qx + Наделением на общую разность потенциалов ф = фі — Ф2 находим отсюда емкость батареи:
С = С! + С2. (26.11)
При последовательном соединении средние пластины, соединенные между собой, электризуются через влияние, а потому их
заряды равны и противоположны по знаку. Таким образом, заряды на обоих конденсаторах одинаковы. Разности потенциалов
ЕМКОСТЬ ПРОВОДНИКОВ И КОНДЕНСАТОРОВ
107
складываются:
Фі - Фз = (Фі - Ф2) + (ф2 - фз).
А так как
Фі — фз = <7/С, Фі — ф'2 = qlCL, ф2 — Фз = <7/С2, то отсюда получаем
г-і + тЬ (26Л2)
Обобщение формул (26.11) и (26.12) на случай нескольких конденсаторов тривиально. Параллельное соединение применяется для увеличения емкости конденсатора. Последовательное применяют тогда, когда во избежание пробоя большую разность потенциалов требуется распределить между несколькими конденсаторами.
9. Применим формулу (26.12) к расчету емкости слоистого плоского конденсатора. Конденсатор состоит из двух параллельных металлических обкладок, разделенных плоскими слоями из диэлектриков с различными диэлектрическими проницаемостями (рис. 80). Представим себе, что между слоями диэлектриков введены бесконечно тонкие металлические листы. От этого заряды на обкладках конденсатора и напряженности полей в слоях диэлектрика не изменятся. Не изменится и разность потенциалов между обкладками, а с ней и емкость конденсатора. Однако введение металлических листов превращает слоистый конденсатор в батарею последовательно соединенных конденсаторов. Применяя к ней формулы (26.6) и (26.12), получим
Г = :т(-е7 + ІГ+-”)’ (26ЛЗ)
где du с?2, ... —толщины диэлектрических слоев, а е1( е2, ... — их диэлектрические проницаемости.
ЗАДАЧИ
1. Три конденсатора с емкостями Сі = 2 мкФ, С2 = 2 мкФ,_ С3 = 4 мкФ и допустимыми напряжениями Vx = 1000 В, V2 = 450 В, Уз = 250 В соединены в батарею. При каком соединении конденсаторов можно получить наибольшее напряжение? Чему равно это напряжение и соответствующая емкость батареи?
Ответ. При последовательном; V = 1125 В; С = 0,8 мкФ.
2. Определить емкость единицы длины двух параллельных бесконечно Длинных круговых цилиндров, радиусы которых равны а и 6, а расстояние между осями /.
Решение. Возьмем две бесконечно длинные параллельные прямые А и А', Равномерно заряженные электричествами противоположных знаков (рис. 81).
Г- ~ -1
% <*з
\ = ' = ' ег h * ~ = *' ‘
sf dl
1 + + - -t.._ + „ +1 '
Рис. 80.
108
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
[ГЛ. I
Эквипотенциальными поверхностями будут круговые цилиндры (см. задачу 9 к § 19). Пусть S и S' — два из них, расположенные вне друг друга. Положение осей цилиндров О и О' определим условиями 0Л-0Л' = а2, 0'A''0'A—bz (см. § 23, пункт 3). Потенциалы поверхностей S и S' будут
ф:
2к . а
------ІП -г
є d
Ф'=—
2к' , Ь — [nd'<
где d = ОА, d' = О'А'. Если заряды иии' перейдут с линий Л и Л' на поверхности цилиндров S и S', то поле внутри цилиндров обратится в нуль, а во внешнем
пространстве не изменится. Получится распределение зарядов, отвечающее условиям задачи. Вычислив разность потенциалов ф — ф', найдем емкость на единицу длины
п 1 °Ь 2lndd>
(2G.14)
Для определения d и d' имеем уравнения
d{l-d') = a2, d'(t-d) = b\
из которых находим
d _ Р + о2 — b" - V(I2 + а2 — Ъ2)2 - 4а-Р 21
_ I2 + Ь2 - а2 —
(26.15)
21
Рассмотрим теперь случай, когда цилиндр S' целиком лежит внутри цилиндра
S (рис. 82). Все рассуждення и вычисления в этом случае остаются без изменений. Окончательная формула (26.14) также остается неизменной. Только для определения d = ОА и а — О'А' получаются уравнения
