Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, наконец, что электрические заряды q и q' обладают свойством взаимности. Оно заключается в следующем. Если q' является электрическим изображением заряда q, то, и обратно, заряд q является электрическим изображением заряда q'. Эго замечание позволяет распространить изложенный метод на случай, когда точечный заряд внесен внутрь сферической полости, сделанной в проводящей среде.
: 4. Допустим теперь, что сфера S изолирована и задан ее заряд Нетрудно заметить, что в этом случае для определения поля во внешнем пространстве к зарядам q и q' надо добавить третий (фиктивный) заряд q0 — q', поместив его в центре сферы О. Рассмотрим специально частный случай, когда q0 = 0. Индукционные заряды возбуждают во внешнем пространстве такое же поле, что и диполь длины R' с дипольным моментом р — —q’R', который направлен по полю Е, создаваемому зарядом q. Будем неограниченно удалять заряд q, одновременно увеличивая его так, чтобы поле Е в центре сферы оставалось неизменным. В пределе получится однородное
94
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
[ГЛ. I
электрическое поле, в которое внесен проводящий шар. При этом р — —q'R' — a3qlR2 = аяЕ, или в векторной форме
р = сРЕ. (23.5)
Этот результат уже был получен в § 16.
ЗАДАЧИ
1. Определить силу притяжения между точечным зарядом q и металлическим шаром (см. рис. 65). Рассмотреть два случая: 1) шар заземлен, 2) шар изолирован, а полный заряд его равен нулю.
Ответ. 1) F= (?2_а.,)2 <?2; 2) f=( (^2_а2)3 - ?з) ?2-
2. В условиях предыдущей задачи найти работу А, которую надо совершить, чтобы точечный заряд q удалить в бесконечность.
Ответ П Q?—21
итвеї. U2W2_a2) *) 2R*(R2 — a*y
3. Внутри сферической незаряженной проводящей оболочки в точке А на расстоянии О А = а от ее центра помещен точечный заряд q (рис. 66). Радиус внутренней поверхности оболочки равен г, а внешней R. Найти: 1) поверхностную плотность индуцированных электрических зарядов на внешней поверхности оболочки;
2) потенциал оболочки, принимая за нуль потенциал бесконечно удаленной точки;
3) поверхностную плотность индуцированных зарядов в точках В и С внутренней поверхности оболочки.
Ответ. 1)0=^; 2)Ф = -?-; 3) сд = j-J-y (l +у), °с =
= 4л(г + а)2 (' ~~г )’
4. Найти силу, действующую на точечный заряд q, помещенный на биссектрисе прямого двугранного угла между двумя проводящими плоскостями (рис. 67). Расстояние между зарядом q и вершиной двугранного угла равно а.
О т в е т. F =^2 (2 V~2 — l). Сила F направлена к вершине двугранного
угла О.
б. Точечный заряд q находится между двумя металлическими плоскостями, образующими между собой угол 60° (рис. 68). Найти предел, к которому стремится напряженность электрического поля Е, когда точка наблюдения приближается к ребру О, все время оставаясь между металлическими плоскостями. Как изменится результат, если заряд будет не точечным?
ТОЧЕЧНЫЙ ЗАРЯД НАД ДИЭЛЕКТРИКОМ
95
Решение. Нетрудно убедиться, что электрическим изображением заряда q относительно поверхности АОВ будет совокупность пяти зарядов: qlt q2, q3, qi: q$. Поле этих зарядов и заряда q в точке О равно нулю. Результат не изменится, если заряд q будет не точечным.
6. На бесконечной плоской поверхности проводника имеется сферический бугор CMD, центр которого О лежит в той же плоскости (рис. 69). На перпендикуляре ОМ вне проводника расположен точечный заряд q. Найти электрическое поле во всем пространстве.
Решение. Введем электрические изображения в сфере и плоскости, как указано на рис. 69. Сгруппируем заряды попарно: 1) q с —q, 2) q' с —q'. Каждая пара в плоскости ACDB создает нулевой потенциал. Сгруппируем теперь те же
заряды по-другому: 1) q с q', 2) —q с —q’. При такой группировке каждая пара будет создавать нулевой потенциал на сфере CMDN. Ясно поэтому, что потенциал четырех зарядов q, —q, q', •—q' обращается в нуль на поверхности ACMDB. Следовательно, поле этих зарядов в верхнем полупространстве будет тождественно с полем, которое требуется рассчитать.
7. Найти силу притяжения F между точечным электрическим диполем н бесконечной металлической пластинкой, если момент диполя р перпендикулярен к плоскостям пластинки, а расстояние его до ближайшей поверхности пластинки равно h. Определить также работу А12, которую надо затратить, чтобы удалить диполь от пластинки с расстояния до h2.
Зр2 п2 / 1 1 \
Ответ. F=-^~t Л12 = -^-(р-—д|-). Обратим внимание,что перемещение
диполя сопровождается смещением индуцированных им зарядов. Однако это смещение происходит перпендикулярно к силовым линиям и поэтому не сопровождается дополнительной работой.
Пусть два однородных диэлектрика с диэлектрическими проницаемостями и е2 граничат друг с другом вдоль плоскости MN (рис. 70). В точке А первого диэлектрика помещен точечный заряд q. Найдем электрическое поле в каждом из диэлектриков. В окрестности точки А поле должно стремиться к бесконечности, как кулоново поле точечного заряда q. Поэтому поле в первом диэлектрике должно содержать слагаемое qr/^r3). К нему надо добавить поле поляризационных зарядов, возникших на границе раздела диэлектриков. Введем предположение,
