Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
d’(d-l) = b\ d(d' + l) = a2 (а>Ь>1).
Из них находим
а2 - Ь2 - /2 + Уг(а~ - Ь-- /2)2 - №Р
И__________________’ (25.16)
,, о2 — Ь~ — /2 -]А(а2 — Ьг - 1г)" - W1
~ 21 ¦
3. Показать, что для тонких цилиндров формула (26.14) переходит в формулу
(26.8), а для коаксиальных цилиндров — в .формулу (26,7).
S 27]
ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ И ЕМКОСТНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
109
4. Найти выражение для емкости эллипсоида.
Ответ.
со
І = 1(а5 + Я) (с3+Л.)]~,/я dk.
о
Для вытянутого эллипсоида вращения:
j = _L і 1+1
С 2аее п 1-е ’
идя сплюснутого:
1 1 . е
С 2аег ЭГС ® у" j___е2 '
где е — эксцентриситет эллипсоида.
§ 27. Потенциальные и емкостные коэффициенты
1. Рассмотрим произвольную систему п заряженных неподвижных проводников, пространство между которыми заполнено неподвижным диэлектриком — однородным или неоднородным. Такую систему иногда называют сложным конденсатором. Будем предполагать, что свободных зарядов в диэлектрике нет. Докажем, что при этих условиях потенциалы проводников будут линейными однородными функциями их зарядов. При этом, как обычно, потенциал поля в бесконечности принимается равным нулю.
Предположим сначала, что все проводники не заряжены. Сообщим затем одному только г-му проводнику заряд, равный единице. Этим однозначно определится электрическое поле Еі (г) во всем пространстве и соответствующие ему потенциал V,- (г) и индукция Dі — е (г) Еі (г). По теореме Гаусса поток вектора Di через поверхность t-ro проводника будет равен 4л, а через поверхности остальных проводников — нулю. Значение потенциала V,- (г) в месте нахождения /-го проводника обозначим Уп- Коэффициенты Vji зависят только от формы и расположения проводников, а также от диэлектрической проницаемости диэлектрика между ними. Они называются потенциальными коэффициентами. Ввиду линейности и однородности уравнений электростатики произвольная линейная комбинация векторов Еі (г) и ?), (г) с постоянными коэффициентами qh т. е.
Е(г)= І; ЧіЕі (Г), (27.1)
f=i
Я(г) = е?(г)= qiDiir), (27.2)
і — 1
удовлетворяет этим уравнениям. Действительно, вектор Е (г) потенциальный, так как все поля Еі (г) потенциальны. В диэлектрике вектор D удовлетворяет уравнению div D = 0, так как
(26.17)
(26.18) (26.19)
110
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
[ГЛ. I
div Di = 0. Наконец, в проводниках Е = 0. Таким образом, выражения Е и D могут рассматриваться как напряженность и индукция какого-то электростатического поля. Заряды, возбуждающие такое поле, не могут находиться внутри диэлектрика, так как 4пр = div D = 0. Остается выяснить физический смысл постоянных коэффициентов qu введенных выше чисто формально. Для этого замечаем, что заряд на поверхности t-ro проводника согласно теореме Гаусса равен
3« = 4д§ dS) = 4ЇЇ 2 Ъ f (DJ dS) = * § (Di dS) = qt.
Si / st st
На основании теоремы единственности можно поэтому сказать, что выражение (27.1) определяет электростатическое поле системы п
проводников, заряды которых равны соответственно qx, q2, q„.
Потенциал поля (27.1) определяется выражением
<Р (r)='tq,VJ(r). (27.3)
/= і
Поместив точку г на поверхности t-ro проводника, находим его потенциал:
Ф (27.4)
/=і
Разрешив эти уравнения относительно q,, получим
?;= 2 Сі7фу. (27.5)
/ = і
Постоянные С,у называются емкостными коэффициентами :). Как и потенциальные коэффициенты, они определяются только величиной, формой и расположением проводников, а также диэлектрической проницаемостью промежуточной среды. В § 28 будет доказано, что емкостные, а следовательно, и потенциальные коэффициенты симметричны, т. е. Сjj = Vij = Vji.
Таким образом, заряды проводников являются линейными однородными функциями их потенциалов, а потенциалы — линейными однородными функциями зарядов.
Если диэлектрик между проводниками однороден, то все емкостные коэффициенты Cik будут пропорциональны его диэлектрической проницаемости е.
Для конденсатора число проводников (обкладок) равно двум. В этом случае
<?1 — Сцфі С].2ф2) — С21Ф1 ~Ъ С22Ф2»
х) В старой литературе коэффициенты Су назывались коэффициентами емкости, когда і = /, и коэффициентами индукции, когда і ф /. Мы не следуем этой терминологии.
ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ И ЕМКОСТНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
111
причем q2 — —qv Решив эти уравнения относительно грх и ср2, найдем разность потенциалов (fL — ф2 и емкость конденсатора:
ґ-і С11^22 — СідСдх
Cu + C22+Ci2 + C2i
2. Отметим некоторые свойства потенциальных и емкостных коэффициентов. Мы не будем приводить их строгие математические доказательства, а ограничимся интуитивными, но достаточно убедительными физическими соображениями.
Все потенциальные коэффициенты Уц положительны. Действительно, если /-му проводнику сообщить положительный заряду, а остальные проводники оставить незаряженными, то интуитивно ясно, что потенциал во всех точках пространства будет положителен. При ЭТОМ ф; =
= Vуд. Из положительности ф* следует 1/у > 0.
Интуитивно также ясно, что максимальным будет потенциал проводника, которому сообщен заряд, т. е. ф,- > ф;. Отсюда следует, что Vjj> Vij (і Ф j).
Емкостные коэффициенты Cij с одинаковыми индексами положительны, а с разными — отрицательны. Действительно, заземлим все проводники, за исключением t'-ro. Тогда qi =
