Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Проведем из центра эллипсоидального слоя О бесконечно узкий конус прямых, вырезающий из этого слоя объем dV, а из его поверхности — элементарную площадку dS (рис. 72). Очевидно, dV = dS dN, где aN—толщина слоя в рассматриваемом месте. Если р—объемная плотность электричества в слое, то заряд элемента объема dV будет dq = р dS dN. если ал о, а общий заряд эллипсоидального слоя сохраняется неизменным, ™ полУчается поверхностное распределение электричества с поверхностной
98
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
[ГЛ. I
Проведем в рассматриваемом месте эллипсоидальной поверхности касательную плоскость АВ и опустим на нее перпендикуляр ОА, длину которого обозначим N. При неизменном направлении перпендикуляра ОА объемы подобных и подобно расположенных эллипсоидов, очевидно, пропорциональны N3. Если V — объем эллипсоида, то V ~ N3, а потому
где ДУ — объем эллипсоидального слоя. Исключив dN и воспользовавшись соотношением q = р ДУ, получим
Из рассуждений настоящего параграфа непосредственно следует, что равновесное распределение электричества на поверхности проводящего эллипсоида остается равновесным при любом равномерном растяжении или сжатии его. Пользуясь этим, можно было бы найти равновесное распределение электричества по поверхности эллипсоида путем равномерного растяжения или сжатия заряженного проводящего шара. Такой путь является наиболее коротким. Разумеется, он также приводит к формуле (25.3).
Зная распределение электричества по поверхности эллипсоида, можно путем интегрирования по этой поверхности найти потенциал, а затем и напряженность электрического поля в любой точке пространства. Такой путь, однако, приводит к громоздким вычислениям. Значительно проще другой, искусственный прием (см. задачи 3 и 4 к этому параграфу).
1. Найти поверхностную плотность электричества на бесконечно тонкой проводящей эллиптической пластинке, получающейся равномерным сжатием трехосного эллипсоида в направлении оси Z.
2. Заряженный проводящий эллипсоид мысленно разделен на части равноотстоящими плоскостями, перпендикулярными к одной из его главных осей. Показать, что, каково бы ни было число таких частей, величины их зарядов будут всегда одинаковы. В частности, если эллипсоид является вытянутым и бесконечно тонким, то электричество распределится по его длине равномерно.
3. Найти условие, при выполнении которого поверхности семейства X (х, у, г) = const могут быть эквипотенциальными.
Р е ш е н и е. По условию потенциал ср постоянен, если постоянна функция X. Значит, он должен быть функцией .только X: <р = ф (^.). Дифференцируя <р по
ДУ/У =3 dN/N,
o = qN/{ ЗУ).
Пусть уравнение поверхности эллипсоида имеет вид
(25.1)
а2 ' 62 "г с2 ~
(25.2)
Тогда, как известно из аналитической геометрии,
Кроме того, У = -^-abc. Поэтому формула (25.1) переходит в
(25.3)
ЗАДАЧИ
Ответ.
(25.4)
§ 25] ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ПРОВОДЯЩЕГО ЭЛЛИПСОИДА 99
координате х, получаем
Эф , дХ &<р JdXV, , &Х
дх ^ дх ’ дх'г У ( дх ) ^ дх2'
Написав аналогичные соотношения для у и г и складывая их, найдем
ДФ = ф" (grad Xf + ф' АХ.
С учетом уравнения Лапласа Дф = О отсюда следует
М Ф" (X)
(grad X)- ~ ф'(?.)*
Таким образом, чтобы уравнение X (х, у, z) = const представляло семейство эквипотенциальных поверхностей, необходимо, чтобы левая часть последнего соотношения была функцией только X-
Т1Ж?“Ф(Ч- (25'5)
Если функция Ф (Л) известна, то потенциал ср можно найти интегрированием уравнения
ф' М
-=-Ф(А,), (25.6)
что сводится к выполнению двух квадратур.
4. Найти потенциал электрического поля заряженного проводящего эллипсоида.
Решение. Пусть X (х, у, г) — неявная функция, определяемая уравнением
-=1 (25.7)
а2-\-Х Ьг-\-Х
(а > Ь Э= с > 0). Уравнение X (х, у, г) = const представляет семейство софокус-кых поверхностей второго порядка. При с2 -j- X > 0 это есть семейство эллипсоидов; при Ьг + X > 0, с2 + X < 0 — однополостных гиперболоидов; при а2 + X > > 0, f>2 -|- X < 0, с2 -|- X < 0 — двухполостных гиперболоидов. Во всех случаях уравнение X (х, у, z) = const может быть семейством эквипотенциальных поверхностей. Для доказательства достаточно убедиться, что выполняется условие
(25.5). Введем обозначение
X^ у^ 2^
Fn= (а2 + Х)п + (Ь* + Х)" + (с- + Х)'1’
Тогда дифференцированием (25.7) по х получим
2х _ дХ а2 + Л 2 дх
откуда
&Х 2х
^~~~W+V)F7'
Вторичное дифференцирование дает
д°-Х 2 2х дХ 2х Г 2* _9?7 дХ
Г 2* ор
3 дх\
дх2 (o2 + A)F2 (аг-{-Х)2Р2 дх (a2 + ^)^s ¦
2 8х2 . 8 /У2 ^
“ (а2 + X) F2 _ Та2 + Ff (a3 + Wa^a'
100
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ІГЛ. I
Написав аналогичные выражения для производных по у и г и складывая их, находим
(grad Xf = у',
9 / 1
Следовательно, условие (25.5) выполняется, причем
ф(Я)“Т№х+-fc^x+^qr)* р5,?)
Задача свелась к интегрированию уравнения
Ф"(Я) - * 1 * • + Т2-ТТ + tW )• <25-9)
<р'(л) 2 \й2 + Я Ь2-\-Х с2 + Я
Допустим теперь, что все знаменатели в правой части уравнения (25.9) положительны. Тогда эквипотенциальными поверхностями (25.7) будут софокусные эллипсоиды. При Я = 0 получается эллипсоид (25.2). Таким образом, если потенциал ф (х, у, г) найти из уравнения (25.9), то на поверхности эллипсоида (25.2) он обратится в постоянную и, следовательно, будет давать решение рассматриваемой задачи. Интегрируя уравнение (25.9), получаем
