Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
W-^l^ldqU
І
где суммирование ведется по всем заряженным телам. Штрихи над фі и 7,- поставлены для того, чтобы указать, что эти величины переменные, т. е. меняются во время зарядки. Интеграл легко вычислить, используя то обстоятельство, что его значение не зависит от способа зарядки. Пусть ^ и ф; — заряд и потенциал t-ro тела в конечном состоянии. Осуществим зарядку так, чтобы в любой момент времени переменные заряды q'i были пропорциональны их конечным значениям qc.
q'i—kqi,
114
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
[ГЛ. I
где k — переменная величина, одинаковая для всех зарядов qt. Во время зарядки она возрастает от начального значения k — О до конечного k = 1. Поскольку связь между D и Е предполагается линейной (D = гЕ), увеличение всех зарядов в несколько раз ведет к увеличению всех потенциалов в такое же число раз. На этом основании можно написать
ф і = ?ф/.
Единственной переменной, определяющей при зарядке мгновенные значения зарядов и потенциалов, стала величина k. Ее мы и примем за переменную интегрирования. Очевидно, dq\ = qidk, и, следовательно,
і
о
Выполнив интегрирование, получим
(28,4)
Ограничение, касающееся размеров диэлектриков, введенное при получении формулы (28.4), можно снять, если записать эту формулу в виде
Г = | ^фрс/У + -2- ^qodS, (28.5)
где р — объемная, а 0 — поверхностная плотности (свободного) электричества. В таком виде формула справедлива при любом распределении проводящих и диэлектрических сред в пространстве. Интегрирование должно проводиться по всем свободным зарядам.
3. Рассмотрим теперь специально случай, когда все заряды находятся на проводниках. Тогда выражение для W надо взять в виде (28.4). Размеры проводников и их распределение в пространстве могут быть какими угодно. В частном случае конденсатора число проводников равно двум, а их заряды равны и противоположны по знаку. В этом случае формула (28.4) переходит в (28.3). Пусть теперь число проводников произвольно. Если заряды на проводниках получат бесконечно малые приращения 6qh то изменятся и потенциалы ф;. Электрическая энергия изменится на
Ф г^ + у29гбф‘'-
Но та же величина равна 6Лпнеш = 2]ф;6<7/. Приравнивая оба выражения, находим
2 <Р* = .S <7і (28.6)
ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ
115
С помощью этого соотношения легко доказать симметрию емкостных и потенциальных коэффициентов С;у и У,у. Для упрощения доказательства допустим, что заряженными являются только і-й и /-й проводники, причем потенциал сру поддерживается постоянным. Тогда
Ф/б^ + Фуб<7у = <7гбфь (28.6а)
Далее,
Ці= С,-;Ф( + С/уфу> qj = Cji(fi + С//Ф/.
Ввиду постоянства фу
б<7і = С,г 6ф;, б<7у = Су( бф;.
Подставляя эти значения в соотношение (28.6а), получим
Сіу = Су,. (28.7)
о
Отсюда следует также, что Уу- = Vц. Этот результат можно, конечно, получить непосредственно из соотношения (28.6).
4. Учтем теперь, что поляризация диэлектрика, возникающая
при возбуждении в нем электрического поля, может сопровож-
даться изменением температуры диэлектрика и появлением в нем механических сил и упругих напряжений. Вследствие этого во время зарядки тел диэлектрическая проницаемость є может измениться, поскольку она зависит от температуры и плотности диэлектрика. Это обстоятельство не сказывается на выражении для элементарной работы (28.1). Но последующее интегрирование этого выражения было проведено в предположении постоянства е. Ясно, что таким путем нельзя получить выражение для внутренней электрической энергии системы. Однако выражения (28.3) — (28.5) определяют не менее важную физическую величину, а именно свободную энергию системы, точнее, ту часть ее, которая связана с электризацией тел. Чтобы показать это, переведем систему в конечное состояние в два этапа. Сначала в отсутствие электрического поля деформируем все тела и подведем к ним такое количество тепла, чтобы получилось то же распределение температуры и плотности, что и в конечном состоянии. Приращение свободной энергии в таком процессе обозначим Ч^р. Оно, очевидно, от электрического поля не зависит. Затем бесконечно малыми порциями будем подводить к телам системы электричество, сохраняя неизменными температуру и плотность в каждой точке пространства. Диэлектрическая проницаемость среды изменяться не будет. Следовательно, на этом этапе применим способ вычисления работы, которым мы пользовались при выводе формул (28.3) и (28.5). Но, как известно из термодинамики, внешняя работа при изотермическом квазистати-ческом процессе идет на приращение свободной энергии системы. Значит, приращение свободной энергии на втором этапе процесса будет Ч;эл = W. Если свободную энергию в начальном состоянии
116
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
ІГЛ. 1
принять за нуль, то для полной свободной энергии системы в конечном состоянии можно написать
Первое слагаемое в правой части дает упругую часть свободной энергии, второе г— электрическую.
§ 29. Локализация электрической энергии в пространстве
1. Формулы (28.3) и (28.5) выражают электрическую энергию через заряды и потенциалы. Но ее можно выразить также через напряженность и индукцию электрического поля. Сделаем это сначала для случая плоского конденсатора, заполненного однородным диэлектриком. Искажениями электрического поля у краев конденсатора (краевыми эффектами) пренебрежем. Если I — расстояние между обкладками, то ф = Е1. Кроме того, q — oS — SDJAn,
