Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 68.
Рис. 69.
§ 24. Точечный заряд над плоской поверхностью диэлектрика
96
Электрическое поле
[ГЛ. і
оправдываемое последующими вычислениями, что поле поляризационных зарядов в первом диэлектрике эквивалентно полю,какого-то точечного заряда q', помещенного в точке А', зеркально симметричной с А относительно границы раздела. Тогда для поля в первом диэлектрике можно написать
й' ¦
1 Ej/?
А і Ч
і/у
?Г
м К N
?г
л* \ Я*
Рис. 70.
Є]Г •>
где г и г' — раднусы-векторы, проседенные ИЗ зарядов q и q' в рассматриваемую точку. Введем второе предположение, также оправдываемое последующими вычислениями, что поле во втором диэлектрике представляется выражением
г,
причем второй (фиктивный) заряд q* совмещен пространственно с зарядом q (на рис. 70 он не изображен)- Теперь необходимо выражения для Е± и Е-, «сшить», чтобы на границе раздела диэлектриков удовлетворялись граничные условия: непрерывность касательных компонент вектора Е и нормальных компонент вектора D. Первое условие имеет вид
¦ sin ф + sin ф = -
¦ sin фц
а второе
q cos tp — q cos <f — q cos ф.
Существенно, что угол ф выпадает из обоих уравнений. Поэтому, если q' и q’ определить из этих уравнений, то граничные условия будут удовлетворены во всех точках границы раздела. Таким путем находим
р____ q .______1 е2—et д ,
St ej + e2 r'i * (24 ])
E, = -
r.
“H ^2 ^
Эти выражения удовлетворяют всем условиям задачи и, в силу теоремы единственности, дают ее решение. При е2 -*• оо они переходят в соответствующие вы-раженпя для поля точечного заряда над проводящей плоскостью.
ЗАДАЧА
Какая сила действует на точечный заряд q вблизи плоской границы раздела двух диэлектриков?
I e, — elq2 ,
, где h — расстояние заряда от границы раздела.
О т в е т. F =-
4ej і" l j /і2
Заряд притягивается к плоскости, если е2 > elt и отталкивается, если є2 < єх.
§ 25. Электрическое поле заряженного проводящего эллипсоида
1. Возьмем сферический слой между двумя концентрическими сферами, равномерно заряженный по всему объему. Электрическое поле в полости, ограниченной таким слоем, как известно, равно нулю. Хотя этот результат является непосредственным следствием теоремы Гаусса (см. § 6), для последующего важно получить его непосредственно из закона Кулона. С этой целью через произвольную
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ПРОВОДЯЩЕГО ЭЛЛИПСОИДА
97
точку М (рис. 71) внутри сферической полости, ограниченной рассматриваемым слоем, проведем бесконечно узкий конус прямых. Он вырежет из слоя два бесконечно малых элемента объема dVr и dV2, заштрихованных на рисунке. Проведем далее через точки А, В, А', В' участки сферических поверхностей с общим центром в точке М, изображенные на рисунке пунктирными линиями. Между ними тот же конус прямых вырежет элементы объема dri и dx2 (не обозначенные на рисунке). Очевидно, dxxldx2 — r\!r\, где ^иг; — расстояния рассматриваемых элементоз объема от точки М. Кроме того, dx 1 = dVj, dx2 = dV2, а потому dqxldq2 = r\!r\, где dqi H dq2 — заряды элементов объема dVx и dV2 соответственно. На основании закона Кулона можно утверждать, что поля зарядов dqx и dq2 в точке М равны и противоположно направлены. Проведя через точку М конусы прямых во всевозможных направлениях, можно разделить весь заряженный сферический слой на пары аналогичных бесконечно малых зарядов, электрические поля которых в точке М взаимно уничтожают друг друга. Отсюда следует, что электрическое поле будет равно нулю во всех точках полости, -
так как точку М можно взять произвольно.
2. Предполагая, чтб электрические заряды в сферическом слое неподвижно закреплены, будем равномерно сжимать или растягивать всю фигуру на рис. 71 последовательно вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений. При такой деформации сферический слой перейдет в равномерно заряженный эллипсоидальный слой, ограниченный двумя подобными и подобно расположенными концентрическими эллипсоидами. Каждая прямая перейдет в прямую, равномерно сжатую или растянутую. Величины зарядов dqx и dq2, разумеется, останутся без изменения. Элементы объемаdVx и dV2, а также расстояния гх и г2 изменятся, но их отношения останутся прежними. В частности, dqxldq2 = r\!r\. Значит, сохранится и компенсация полей в каждой точке внутри полученной эллипсоидальной полости. Отсюда следует, что электрическое поле в полости, ограниченной разномерно заряженным эллипсоидальным слоем между двумя подобными и подобно расположенными концентрическими эллипсоидами, равно нулю.
3. Будем теперь уменьшать толщину эллипсоидального слоя беспредельно, сохраняя его общий заряд q неизменным. В пределе получится поверхностное распределение электричества, при котором поле внутри эллипсоидальной полости всюду равно нулю. Если поверхность полости сделать проводящей, то равновесие электричества на ней не нарушится. Значит, в результате такого предельного перехода получится равновесное распределение электричества по поверхности проводящего эллипсоида. Выполним теперь указанный предельный переход и найдем величину поверхностной плотности электричества о иа поверхности эллипсоида.
