Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
СВОБОДНАЯ ЭНЕРГИЯ И СИЛЫ
127
вении этих сил не имеют прямого отношения. Однако приращение свободной энергии dW при виртуальных смещениях существенно зависит от того, при каких условиях эти смещения производятся. Поясним это сначала на примере конденсатора. При виртуальных смещениях его обкладок или диэлектрической среды между ними меняется емкость конденсатора С. Если конденсатор отключен от источника электричества (q — const), то приращение свободной энергии W = q2l(2C) будет
(dW)g, г =4 fi (±) = - sc = - j Ф2 6 С,
а виртуальная работа, согласно формуле (32.2), 6Лэл = ф26С/2. Если же конденсатор подключен к гальванической батарее (ф = = const), то, представив W в виде W = Сф2/2, получим
(<ЛР)ф>г = -2-фа6С.
Эта величина отличается от предыдущего выражения знаком. Различие обусловлено тем, что во втором случае гальваническая батарея поставляет конденсатору дополнительный заряд 8q = ц> 8С, совершая при этом работу 6Лбат = фбq = ф26С. Теперь приращение свободной энергии определяется полной внешней работой, т. е. величиной
б^бат — Мэл = ф2 6С — ф2 6С/2 = ф2 6С/2.
Таким образом,
(dW)g,T = -(dW)v,Tt (32.4)
6Л9Л-(<Ш)ф,г = 0. (32.5)
4. Применимость полученных формул не ограничивается случаем конденсатора. Формулы (32.4) и (32.5) носят совершенно общий характер. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим произвольную систему проводников, пространство между которыми заполнено каким угодно диэлектриком. Свободная энергия такой системы определяется выражением (28.4) или
г = у 2 = \ 2 Vi№i-
*» І і, І
При виртуальных смещениях проводников или диэлектрической среды между
ними меняются емкостные и потенциальные коэффициенты. Если смещения про-
исходят при постоянных потенциалах проводников, то
(^)Фіг = ї2фі9^.
і, І
Если же они происходят при постоянных зарядах, то
L*W)q,i
і, і
128
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
[ГЛ. I
Докажем, что эти выражения удовлетворяют соотношению (32.4). Подставив в формулу (27.5) выражение для ф/ из формулы (27.4), получим
Яі= У СцУ/кЧкш /.*
Отсюда
%CtJVjk = б,*. (32-6)
/
где 6ik равно нулю при і k и единице при і = k. Варьируя полученное соотношение, найдем
ZbCijVjk + 'ZCijbVjk^O, (32.7)
/ /
причем здесь, ввиду симметрии потенциальных и емкостных коэффициентов, можно переставлять местами индексы і и /, а также / и к. С использованием соотношений (32.6) и (32.7) можем написать
і, і і, і, k, І = { У Су/ФйФгУ Cki8Vij = — ^ 2 с/гФйФ/26С*^у==
/jM і /,*,< і
= —((,ft(1P/6Cw2 Vii€il = ~ \ 2 (Р'гф/бС*іб,/=
;,М / «.*.<
= -y2Wi6Cfti = “(?WVr-
f, k
Таким образом, соотношение (32.4) доказано. При доказательстве предполагалось, что свободные заряды находятся только на проводниках. Однако доказательство может быть распространено и на тот случай, когда свободные заряды имеются и в диэлектриках. Достаточно мысленно разделить диэлектрики на малые части таким образом, чтобы потенциал каждой из таких частей с достаточной точностью можно было считать одним и тем же во всех ее точках. Для таких малых частей диэлектриков можно ввести емкостные и потенциальные коэффициенты совершенно так же, как это было сделано для проводников. Поэтому доказательство, изложенное выше, может быть распространено без всяких изменений и на случай диэлектриков.
5. Рассмотрим теперь произвольную систему заряженных проводников в вакууме. Заполним все пространство между нимн однородной несжимаемой жидкостью с диэлектрической проницаемостью е, сохраняя заряды проводников неизменными. От этого индукция поля D не изменится, а его напряженность Е уменьшится в є раз (см. § 22, пункт 3). Уменьшится в є раз и электрическая часть свободной энергии W. Так как жидкость несжимаемая, то при виртуальных смещениях упругая часть свободной энергии ? изменяться пе будет. Поэтому силы взаимодействия между проводниками будут определяться только изменениями величины W. А так как при заполнении пространства диэлектрической жидкостью эта величина уменьшается в є раз, то во столько же раз уменьшатся и силы взаимодействия между проводниками.
СВОБОДНАЯ ЭНЕРГИЯ И СИЛЫ
129
6. Вернемся в заключение к примеру, с которого мы начали изложение в настоящем параграфе. Доведем до конца вычисление силы притяжения между пластинами плоского конденсатора, предполагая, что все пространство заполнено несжимаемой однородной жидкостью с диэлектрической проницаемостью е (см. рис. 84). Упругую часть свободной энергии можно не принимать во внимание, так как для несжимаемой жидкости dx? = dW. Направим ось X от отрицательной пластины к положительной и сместим положительную пластину в направлении оси X на величину 6х, сохраняя заряды пластин неизменными. При неизменных зарядах останется постоянной индукция D в конденсаторе, а с ней и объемная плотность свободной энергии
W = о— .
8лб
При смещении объем конденсатора увеличится на бК = 5бл:, где 5 — площадь пластины. Часть жидкости войдет в конденсатор, а его свободная энергия увеличится на (dW)g,T — w 8V = Sw 6х (влиянием краевых эффектов мы пренебрегаем). Виртуальная работа, совершенная силой F, будет б А — F 8* = Sf 8х. Подставляя эти значения в формулу (32.1), получим
