Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
8. Рассмотрим теперь область II в случае, когда 8 < U. Вероятность обнаружить частицу в области II в этом случае рассматривалась как парадокс. Основанием для этого является соотношение (28.9), из которого следует, что всегда 8 > U, так как кинетическая энергия р2/2т существенно положительна. Однако, как уже неоднократно подчеркивалось, формула (28.9) есть соотношение классической механики и неприменима при 8 < U. В этом случае волна де Бройля неоднородна и обычные выражения импульса и кинетической энергии частицы теряют смысл. Однако обнаружить частицу в области II возможно, поскольку вероятность такого обнаружения не обращается в нуль, а лишь экспоненциально убывает по мере удаления от границы барьера в сторону положительных х. Обнаружить частицу — это значит указать границы, между которыми она окажется в результате обнаружения. Практически частицу можно обнаружить только в тонком поверхностном слое вблизи границы барьера, толщина которого порядка глубины проникновения I. Величина
I и может быть принята за неопределенность координаты после обнаружения частицы. Неопределенность импульса обозначим через Др. Тогда в силу соотношения неопределенностей (20.4)
Ар2-12^Н2/ 4.
Подставляя сюда значение I из (28.7) и (28.8), получим
т. е. для локализации частицы в области II в слое толщины I ей необходимо сообщить кинетическую энергию, величина которой во всяком случае не меньше U2 — 8, т. е. положительна. Такую энергию частица может, например, получить при освещении ее световым квантом достаточно короткой длины волны (эффект Комптона). Понятно, что такая локализация меняет квантовое состояние частицы. После взаимодействия со световым квантом волновая функция частицы будет отличаться от нуля только внутри выбранного нами слоя толщины I, обращаясь в нуль вне этого слоя.
Не обязательно, чтобы слой толщины I, в котором обнаруживается частица, располагался у края барьера. Он может быть расположен где угодно в области II. От его положения зависит лишь величина вероятности обнаружения частицы в слое. Но энергия, которую надо сообщить частице при ее локализации в слое толщины I, зависит только от толщины слоя, а не от его
ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ БАРЬЕРЫ
169
положения. Толщина же слоя определяется экспонентой e~2ai и от положения слоя не зависит.
Иллюстрируем роль измерения еще на следующем примере. Частица должна быть локализована внутри слоя толщины /. С этой целью осветим ее пучком света, распространяющимся вдоль слоя перпендикулярно к оси X. Если произойдет рассеяние света, то это и будет означать, что частица в момент рассеяния была локализована внутри рассматриваемого слоя. Из оптики известно, что длина световой волны для локализации должна быть короче /, т. е. к < /. Из формул (28.7) и (28.8) получаем
к < h
4я лІ2т (U2 — S')
или
(hc/k 2 sa 4/iv)2 > 32n2mc2 (U2 — &).
Нерелятивистская механика применима к процессам, когда энергия светового кванта hv мала по сравнению с собственной энергией частицы тс2. Поэтому, разделив левую часть предыдущего неравенства на меньшую величину hv, а правую на большую 32л2тс2, получим тем более
hv > U2 — S.
Таким образом, для локализации должны применяться световые кванты, энергия которых во всяком случае не меньше разности между потенциальной и полной энергиями частицы. Это находится в согласии с тем, что было сказано выше.
9. Заканчивая рассмотрение ступенчатого барьера, выведем некоторые общие соотношения, связывающие амплитудные коэффициенты отражения и пропускания волн де Бройля на границе барьера. Если переменить на противоположные направления распространения всех волн де Бройля без изменения их амплитуд, то уравнение Шредингера и соответствующие ему граничные условия будут по-прежнему удовлетворены. Отсюда следует, что если возникло состояние, изображенное на рис. 51, а, то возможно также и состояние, изображенное на рис. 51,6. На этих рисунках каждая волна де Бройля представлена двумя символами. Первый из них представляет амплитуду, а второй — волновое число соответствующей волны, распространяющейся в положительном или отрицательном направлении оси X. Направления распространения волн обозначены стрелками. На рис. 51, а есть только одна, а на рис. 51,6 — две падающие волны. Обозначим через г' и d' амплитудные коэффициенты отражения и пропускания, когда падающая волна распространяется справа налево из области II к области I. Падающая волна (г, к\) дает отраженную волну (г2, —к\). Падающая волна (d, —k?) возбуждает проходящую волну (dd', —k\). Обе возбужденные волны
170
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА. КВАНТОВАНИЕ
[ГЛ. IV
должны при наложении дать уходящую волну (1, —fti). Таким образом, должно быть
г2 -f dd' = 1. (28.10а)
Аналогично, волна (г, k\) возбуждает проходящую волну (rd, к-2), а волна (d, —к?) — отраженную волну (dr',ki). Обе возбужден-
г: d, ~h-f
г, к, б/
Рис. 51
ные волны должны гасить друг друга, т. е. rd + dr' — 0, откуда
(28.106;
г.
и
а) и, 1
иг
1
И
Соотношения (28.10а) и (28.106) справедливы как для однородных, так и для неоднородных волн. Они были уже получены в т. IV (§ 67) для световых волн. Применим их к прямоугольному потенциальному барьеру (или яме) конечной ширины.
