Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Сивухин Д.В. -> "Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика" -> 75

Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика - Сивухин Д.В.

Сивухин Д.В. Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика — Физматлит, 1986. — 426 c.
Скачать (прямая ссылка): obshiykursfizikit5chast1atomnayafizika1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 179 >> Следующая

Барьер вместе с падающей волной изображен на рис. 52, а. Более детальная картина падающей, прошедших и отраженных
волн представлена на рис. 52,6. Для волн и их направлений примем те же обозначения, что и на рис. 51. Амплитудные коэффициенты отражения и прохождения волн (слева направо) на первой границе обозначим через г\ и d\, на второй — через /'2 и d2. Для обратного направления волн (справа налево) те же коэффициенты обозначим через r\, d\, г’.„ d'r Результирующие амплитудные коэффициенты отражения и пропускания волн для всего барьера обозначим соответственно через г и d. Все волны, которые возникнут внутри и вне барьера, представлены на рис. 52,6. Внутри барьера в противоположных направлениях будут распространяться две волны: (a, k) и (b, —к). На левой границе барьера, как видно из рисунка, сходятся четыре волны, а на правой — три волны. Написав граничные условия - непрерывность и d-ф /dx на каждой границе барьера,—мы получим четыре уравнения первой сте-
6) а, к
г.;-*/ СЬ,-к d,kz^

Рис. 52
ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ БАРЬЕРЫ
171
пени, из которых могут быть найдены все неизвестные амплитуды г, a, b, d. Однако выкладки упростятся, а результаты выразятся в более краткой и компактной форме, если поступить несколько иначе.
10. Рассмотрим сначала условия на левой границе барьера. Примем эту границу за начало координат. К ней подходят две волны: (1, k\) слева и (b, —k) справа. Обе волны отражаются от рассматриваемой границы барьера и частично проходят через нее. В результате наложения отраженной и прошедшей волн в первой области должна получиться результирующая отраженная волна (г, —k\), а внутри барьера — волна (a, k). Таким образом, должно быть
Аналогично поступаем на второй границе барьера. Только теперь начало координат надо перенести на вторую границу и соответственно этому преобразовать амплитуды сходящихся на ней волн. Амплитуды волн, изображенных на рис. 52,6, отнесены к началу координат, помещенному на левой границе. Соответствующие координаты обозначены через х, а координаты относительно начала, помещенного на второй границе, обозначим через х'. Эти координаты связаны соотношением х — х' -{- I. При прежнем выборе начала координат волны, сходящиеся на правой границе барьера, представляются выражениями
(временной множитель е~ш мы опускаем). При замене х через х' те же выражения преобразуются в
Теперь роль амплитуд волн играют выражения, заключенные в круглых скобках. В результате условия на правой границе барьера принимают вид
Из уравнений (28.11) и (28.12) можно найти все неизвестные г, d, а, Ь. Из них представляют интерес прежде всего г и d. С учетом соотношений г\ = — гк и r\ + d{d\ = 1 для них находим
r==r1 + d'6, a = d,+r[6.
(28.11)
aeikx, be~ikx, delklX
[aeikl) eikx', (be~,kl) e~ikx', (deik-1) eikiX'.
deik2i _ dzaeikl, be~ikt — r2aeikl
(28.12)
did2e~i(k*-k) 1 1 + r{r2elikl
(28.13)
11. Пользуясь этими формулами, можно рассчитать коэффициенты отражения и пропускания для частиц. Рассчитаем коэффициент пропускания D. Предположим, что вне барьера U\<<%
-172
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА. КВАНТОВАНИЕ
[ГЛ. IV
и U2 < 8, тогда как внутри барьера U > Ж. Тогда обе величины = -j- л!2т (<$—U\) и k2 = — д/2т (<$ —- U2) вещественны и положительны, внутри же барьера k = га, где
1 V2m(V -&).
Далее,
л
____ /гі — k ____________ k\ — ia _____ k — k2 ____________ ia — k2
Гі k\ + k k\ + ia ' Г2 k + k, ia + k,
A _______ 2k] _____ 2kt ^ ____ 2k _________________ 2га
1 k\ + k, k\ + ia ' 2 k + k-, k-; + ia
Коэффициент пропускания частицы, согласно (28.5), вычисляется по формуле
D = 4L\d'? = ^rdd\ (28.14)
k\ k і
Простые, но несколько длинные вычисления приводят к результату
в= ^ (28.15)
16/si
(kf + a2) (к2 + а2) (еш + е~'м1) + 2 (a2- ksk2)
В большинстве интересующих нас случаев экспонентой е~2ш в знаменателе можно пренебречь. Допустим, например, что U — (S = bO эВ = 0,8-1СН0 эрг. Тогда для электрона а = == 3,64• 108 см-1, e2al = 1,45-103, е~2а‘ = 0,69-10~3. Можно также пренебречь слагаемым 2(а2 — kik2), так как оно того же порядка, что и коэффициент (&2 + а2) (&2+ а2). В результате получается простая формула
= D0exp [- -f- д/2т (U — &f)], (28.16)
где коэффициент Dq слабо меняется с изменением I, U\, U2. Его можно принять постоянным и в большинстве интересных случаев считать порядка единицы.
Если частица падает на барьер с одной стороны, то по классическим представлениям при U > & она не может появиться с другой стороны. Напротив, согласно квантовой механике это возможно. Частица как бы проходит по туннелю через классически запрещенную область U > <$. Это явление получило название туннельного эффекта. Если при этом U\ = U2 (симметричный прямоугольный потенциальный барьер), то кинетическая энергия, с которой частица появляется за барьером, равна начальной кинетической энергии, с которой она падала на барьер. Начало представления о туннельных переходах было заложено в 1927 г. JI. И. Мандельштамом и М. А. Леонтовичем (1903—1981). Они на основе уравнения Шредингера рассмо-
ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ БАРЬЕРЫ
173
трели проблему квантования для ангармонического осциллятора, у которого потенциальная функция U = х/ikx1 при |*| < а и U = const при |л:| > а.
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 179 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed