Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Сивухин Д.В. -> "Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика" -> 71

Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика - Сивухин Д.В.

Сивухин Д.В. Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика — Физматлит, 1986. — 426 c.
Скачать (прямая ссылка): obshiykursfizikit5chast1atomnayafizika1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 65 66 67 68 69 70 < 71 > 72 73 74 75 76 77 .. 179 >> Следующая

8 — — mZ2e4/2h2n2, (27.8)
что совпадает с соответствующей формулой теории Бора.
Изложенным еще не решается задача о спектре водородного и водородоподобного атомов, даже в ее наиболее грубой постановке. Чтобы объяснить спектральные серии, необходимо схему энергетических уровней дополнить правилами отбора при излучении фотонов. Оказывается, что переходы между найденными нами уровнями энергии, соответствующими сферически симметричным состояниям водородоподобного атома, являются запрещенными, т. е. не сопровождаются (дипольным) излучением. Для объяснения спектральных серий необходимо рассмотреть сферически несимметричные состояния водородоподобного атома и установить правила отбора. Это будет сделано ниже (см. § 39).,
§ 27]
КВАНТОВАНИЕ ВОДОРОДОПОДОБНОГО АТОМА
165
3. Для сравнения с теорией Бора найдем еще волновую функцию грі(г) основного состояния в сферически симметричном случае. Так называется стационарное состояние наименьшей энергии. Посмотрим, при каких значениях параметров <8 и а\ уравнению (27.1) удовлетворяет экспоненциальная функция
-г/а.
(27.9,
где а\ > 0. Эта функция не имеет узлов. Поэтому, если лрі (г) удовлетворяет уравнению Шредингера (27.1), то она и будет волновой функцией основного состояния. Дифференцируя лрі (г) дважды по г и подставляя результаты в (27.1), получим
____________
а\г г
р2 = о.
Это соотношение должно выполняться тождественно по г, а потому должно быть
р2, 2/а, = q,
Щ"
или на основании (27.2)
а, = h2/mZe2, <S
= - mZ2eV2h2.
(27.Ю)
Последнее выражение является частным случаем (27.8) при п = 1, как и должно быть для основного состояния. Параметр а\ имеет размерность длины, при Z — 1 он обращается в боровский радиус. О физическом смысле этого параметра в квантовой механике будет сказано несколько ниже.
Функция ipi (г) при г= 0 обращается в единицу, т. е. остается конечной. Следовательно, при г — 0 и(г) = гфі(г) = 0, как того требует и общая теория.
Если функция грі нормирована, то |г|)і|2 дает объемную плотность вероятности обнаружения электрона в пространстве. Наряду с ней введем радиальную плотность вероятности рг. Вероятность обнаружения электрона в сферическом слое между г и г + dr равна объему этого слоя 4яг2 dr, умноженному на
Рис 49
I'M
т.
е. 4лг21 гр 112dr. Эту вероятность можно представить
в виде рrdr. Величина рг и есть радиальная плотность вероятности— произведение рrdr дает вероятность того, что злекірон будет обнаружен на расстоянии от ядра между г и г + dr. Таким образом,
\|), =Се па', рг == 4лС2г2е іг:а\
162
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА. КВАНТОВАНИЕ
[ГЛ. IV
Интегрируя второе выражение по г в пределах от 0 до -f оо и приравнивая результат единице, находим нормировочную постоянную С и таким путем получаем
На рис. 49 представлены графики кривых |грі|2 и рг. Ординаты первой кривой увеличены в десять раз. Кривая р, проходит через максимум при г = ах. Следовательно, в квантовой механике радиус первой боровской орбиты надо истолковать как такое расстояние от ядра, на котором вероятность обнаружения электрона максимальна.
1. Найти среднее расстояние г, на каком будет обнаружен электрон от ядра атома, если последний находится в основном состоянии.
Ответ, г — 3/2а і.
2. В той же задаче найти среднее значение (1/г) обратного расстояния электрона от ядра.
Ответ. (1/г) = 1/аь
3. Найти средние значения потенциальной D и кинетической ^K„„ энергий основного состояния водородоподобного атома.
Ответ. 0 = —Ze2/ai\ = Ze2/2at =—012. Отметим, что такое же соотношение между U и <Укин получилось бы в классической механике для электрона, движущегося вокруг ядра по всякой круговой орбите.
4. Определить уровни энергии в сферически симметричном состоянии водородоподобного атома по числу узлов волновой функции, подобно тому как это было сделано в § 23 для гармонического осциллятора.
Решение. Волновые функции возбужденных состояний должны иметь узлы, число которых на единицу меньше номера соответствующего стационарного состояния. Этому условию для я-го стационарного состояния удовлетворяет выражение
где а„ — положительная постоянная, а Р„~\(г)—полином степени п—1, все корни которого вещественны и различны. Необходимо, чтобы функция tyn(r) удовлетворяла уравнению Шредингера (27.1). Простым дифференцированием находим
(27.11)
ЗАДАЧИ
Ч>„ ir)^Pn-i(r)e-rf\
ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ БАРЬЕРЫ
163
После подстановки в (27.1) получаем
1 2 , „ 2 /> 2 Р'. qPn
— Рп-Х-------Рп-х + Рп----------------------^ + —^i-L + iLJL^-pip 0.
а„ а„ а„ г г г
Это соотношение должно выполняться тождественно по л. Старшую степень г'1-1 содержат только первое и последнее слагаемые. Поэтому должно быть
1/аД = (5 , или 1/аге = В
Степень г'1-2 содержат только подчеркнутые члены. При этом при взятии производной появляется коэффициент (л — 1). С учетом этого
Таким образом,
2 (п — 1) 2 ,, 2л
---------:--------Ь <7 — 0, или ——q.
ап Чп ап
2 п К1
----= п —5-j- = паї ¦
q mZeJ
ft1 mZ2e*
2т 2та2 2Н2п? ’
что совпадает с ранее полученными результатами.
Недостаток приведенного решения — в том, что мы не исследовали до конца, что наша функция (г) действительно является решением уравнения Шредингера. Для небольших п, подобно тому как это было сделано в § 23, нетрудно найти в явном виде полиномы Р„-,(г) и соответствующие им постоянные Яп. Таким путем МОЖНО убедиться, ЧТО функции Ф„ (г) => Рп_ | (/-)Х -па
Предыдущая << 1 .. 65 66 67 68 69 70 < 71 > 72 73 74 75 76 77 .. 179 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed